1.

A propos des nombres entiers
Aristote (384-322)
Pour les PYTHAGORICIENS, eux aussi, le seul nombre, c’est le nombre mathématique ; seulement le nombre n’est plus séparé, mais, au contraire, c’est lui qui, dans ce système, constitue les substances sensibles. Ils construisent, en effet, l’Univers entier au moyen de nombres ; seulement ces nombres ne sont pas composés d’unités abstraites, mais ils attribuent aux unités l’étendue. Quant à expliquer la constitution de la première unité douée d’étendue, c’est là pour eux un écueil manifeste. (Métaphysique, M, 6, 1080 b 15-21, vol. 2, pp. 74445)
Kronecker (1823-1891)
Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist
Menschenwerk. (Jahresber. DMV 2, S, 19, in : Les nombres,
Vuibert, Paris, 1999, chap. 1, p. 2)

Les entiers naturels
Les mathématiciens distinguent plusieurs ensembles de nombres et les désignent par des symboles spécifiques. Le premier de ces ensembles, à partir duquel tous les autres ensembles de nombres peuvent être construits, est l’ensemble des nombres entiers naturels. Cet ensemble a pour symbole : ! et contient les éléments suivants : ! = 0;1;2;3;...

{

}

On définit, dans l’ensemble des entiers naturels, deux opérations : l’addition et la multiplication.
Ces deux opérations satisfont à plusieurs propriétés telles que :
-

A toute paire de nombres naturels a et b, on peut associer une somme, notée a + b , qui est elle-même un nombre naturel. On dit que l’opération d’addition est interne dans ! .

-

L’opération d’addition est commutative, c’est-à-dire que a + b = b + a , pour tous nombres naturels a et b.

-

L’opération d’addition est associative, c’est-à-dire que a + (b + c) = (a + b) + c , pour tous nombres naturels a, b et c.

-

L’opération d’addition possède un élément neutre, le nombre 0, c’est-à-dire que a + 0 = a , pour tout nombre naturel a.

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A toute paire de nombres naturels a et b, on peut associer un produit, noté a ! b (notation que l’on abrège souvent par ab ), qui