X- Combinatoire
L’essentiel de la combinatoire tient en trois formules, ce qui est fort peu. Encore faut-il ensuite arriver à les appliquer correctement, ce qui est nécessite un certain entraînement. Dans ce contexte, ce que l’on appelle les combinaisons joue un rôle p majeur. On appelle Cn le nombre de façons de choisir un paquet de p objets dans un p ensemble de n objets. Signalons que ce nombre, que nous notons Cn , s’écrit aussi, dans la littérature mathématique récente, et américaine à l’origine,  n  . 1
 p

1) Nombre d’applications
Commençons par un exemple qui nous concerne directement, celui de nombres écrits en binaire : Combien existe-t-il de nombres écrits en binaire avec 6 chiffres qui sont soit des 0 soit des 1 ?
6
La réponse est 2 = 64. En effet, le premier des six chiffres que l’on écrit est soit 0 soit 1, d’où deux cas. A chaque fois que l’on a choisi ce premier chiffre, il y a deux façons de prendre le deuxième chiffre, soit 0 soit 1. A chaque fois qu’on a choisi le premier et le second chiffre, il y a deux façons de choisir le troisième chiffre. Et ainsi de
6
suite. Finalement, cela fait 2.2.2.2.2.2 = 2 cas.
Un nombre écrit en binaire, par exemple 011011, est mis dans un tableau sous la forme 1 2 3 4 5 6
0 1 1 0 1 1
Cela peut aussi être visualisé ainsi :
Ce dessin correspond à ce que l’on appelle une application de l’ensemble {1,2,3,4,5,6} dans l’ensemble
{0,1}.
Par définition une application d’un ensemble à p éléments dans un ensemble à n éléments fait correspondre à chaque élément de l’ensemble de départ un élément unique dans l’ensemble d’arrivée. Autrement dit, une flèche part de chaque élément du départ pour tomber dans
2
l’ensemble d’arrivée.
Dans l’exemple des nombres binaires, il y a exactement autant de tels nombres à six chiffres que d’applications d’un ensemble à six éléments dans un ensemble à deux éléments. D’où la propriété qui généralise le cas des nombres en binaire :

1

Choisissez la notation que vous préférez.

2

On avait