Bases hilbertiennes et polynômes orthogonaux

Soutenu par :
 Lahbiri Fatima Zahra
 EL omari Ibrahim
 Abrache Idris
 Izem Younes

Encadrée par :
 Mr. Abdellah Oueld Guejdi

Plan
Biographie (David Hilbert)
Rappel : Le produit scalaire et la norme
Définitions de somme et base hilbertienne

Définition d’espace de Hilbert et exemples fondamentaux
Théorème (Identité de Parseval)
Théorème sur l’existence d’une base hilbertienne
Les polynômes orthogonaux: Densité des polynômes

Autres exemples : Polynômes de Jacobi et Polynômes de Tchebychev

02

David Hilbert
David Hilbert a donné l'impulsion de nombreuses recherches mathématiques du XXème siècle . Il est né le 23 janvier 1862 à
Königsberg. Il a fait sa thèse à l'université de la même ville, sous la direction de Lindemann, le

mathématicien auquel on doit la

première preuve de la transcendance de 𝝅.
 C'est à cette époque qu'il se lia avec Minkowski. Les premiers travaux de Hilbert portent sur la théorie des invariants, qu'il l’aborde d'une façon radicalement nouvelle.
 Alors que ses prédécesseurs avaient obtenu des résultats partiels au prix de calculs

lourds, il est parvenu à un résultat général - son fameux Nullstellensatz (en français théorème des zéros de Hilbert) - à l'aide de raisonnements abstraits.
 Ce sont les premières pierres de la géométrie algébrique abstraite, une thématique majeure du XXème siècle .

03

Rappel 1.2

04

Rappel 2.2

05

Définition d’espace de Hilbert et exemples fondamentaux

06

Définition de la somme hilbertienne

07

Identité de Parseval

08

Démonstration 1.2

09

Démonstration 2.2

10

Théorème sur l’existence d’une base hilbertienne 1.2

11

Théorème sur l’existence d’une base hilbertienne 2.2

12

Les polynômes orthogonaux
 Densité des polynômes

13

14

Démonstration 1.5

15

Démonstration 2.5

16

Démonstration 3.5

17

Démonstration 4.5

18

Démonstration 5.5

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Autres exemples des polynômes orthogonaux Ce résultat est facile à vérifier à travers