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FONCTION LINEAIRE - FONCTION AFFINE – PROPORTIONNALITE I. fonction linéaire / fonction affine 1. définition Rappel de notations: Les fonctions considérées transforment un nombre x en un nombre y. x est appelé l'antécédent de y, y ou f(x) est l'image de x. on note f: x → f(x). A toute fonction, est associée sa représentation graphique, ensemble des points de coordonnées(x;y), dont une équation esty= f  x.
x

1 1

2 4

3 9

f x

Comme pour les autres « êtres » mathématiques, on peut classer les fonctions. Différents aspects peuvent être pris en compte, ici, on s'intéresse à leur effet sur les opérations. Ainsi il y a des fonctions qui transforment : • une somme en somme: f(x+x') = f(x) + f(x') • un produit en produit: f(xx') = f(x).f(x') • une somme en produit: f(x+x') =f(x).f(x') • un produit en somme: f(xx') = f(x) + f(x') Les fonctions linéaires sont celles qui transforment une somme en somme, c'est à dire qui vérifient: f(x + x') = f(x) + f(x'), propriété appelée: linéarité additive. Conséquences: • f(0) = 0 • f(nx) = n. f(x) pour tout entier n et pour tout réel x, propriété dite de linéarité multiplicative. • f(n) = n. f(1) ( ce qui justifie la méthode dupassage par l'unité) • puis par extension: f(x) = x.f(1) • il existe un réel non nul a, tel que: pour tout x, f(x) = ax, a est appelé coefficient de linéarité. Graphiquement: la représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite, dite linéaire, telle que: • elle passe par l'origine du repère • elle a pour équation: y=ax • elle a pour coefficient directeur a. Pour définir une fonctionlinéaire ou pour la représenter graphiquement, il suffit de connaître: • un réel et son image ou un point défini par ses coordonnées • son coefficient de linéarité ou coefficient directeur de la droite. Exemples: déterminer et représenter la fonction linéaire définie par : 1. f(2) = 3 2. f(-3) = 4 3. a=5

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Propriétés: • si a est positif, la fonction estcroissante. • Si a est négatif, la fonction est décroissante. 2. fonction affine On appelle fonction affine, toute fonction du type: f(x) = ax + b, avec a et b réels, a≠0. Propriétés: • pour tous x et x', f(x') – f(x) = a (x' – x), les écarts sont proportionnels de coefficient a. • la représentation de f est la droite d'équation « réduite » y = ax+b, où a est le coefficient directeur et b l'ordonnéeà l'origine ( f(0) = b). • une fonction affine est caractérisée par la donnée de : - a et b - deux réels distincts et leurs images. Exemples: déterminer les fonctions affines f et g telles que: • f(2) = 3 et f(1) = 4 • g(-1) = 5 et g(3) = 8

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Méthodes pour tracer la droite d'équation y=ax + b:
• •

on utilise a et b. on cherche deux points. 3.Résolution de systèmes d'équations linéaires à deux inconnues

Il y a trois méthodes: • par substitution • par comparaison • par combinaison linéaire, appelée aussi par addition. • graphiquement Extension: résolution de systèmes à trois inconnues. Exemples: x– {53x4y=– 3 y=46 ; – 4 =– 18 {36xx5yy=42 ; y=21 {37xx–4y=– 45 6 ;

{3x4 y=7 x2 y =8

{

x2 y – z=1 2 x y =3 3 x – y2 z=6problèmes: a. Si Elodie donne 12 timbres à Raphaël, celui-ci aura deux fois plus de timbres qu'Elodie. Si Raphaël donne 6 timbres à Elodie, ils auront le même nombre de timbres. Combien de timbres possède chacun d'eux? b. Si on diminue la longueur d'un champ rectangulaire de 4m et que l'on augmente sa largeur de 2m, son aire diminue de 12 m2. Si on augmente la longueur de 5m et on diminue sa largeurde 2m, son aire augmente de 7 m2. Calculer les dimensions et l'aire de ce champ. c.Pierre dit à Marie: « j'ai trois fois l'âge que tu avais quand j'avais l'âge que tu as. » « c'est vrai, dit Marie, et quand j'aurai l'âge que tu as, nous aurons 112 ans à nous deux. » Quel est l'âge de Pierre? Et celui de Marie?

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II. Proportionnalité Les listes...
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