TD d’Economie Publique – Master 1 – Université Paris 1 Panthéon Sorbonne – Année 2010-2011

CORRIGE TD 4
Question 4.1. Premier théorème du bien-être.
a.
• Résolution du programme de maximisation du consommateur A :
Max.
s.c.
On calcule le TMS :

On utilise la condition d’égalité du TMS au rapport des prix :

En utilisant la contrainte budgétaire, on obtient :
(1)
La condition d’égalité du TMS au rapport des prix devient :



soit



On obtient ensuite

en utilisant (1) :


•

Résolution du programme de maximisation du consommateur B :

Max.
s.c.
On calcule le TMS :

On utilise la condition d’égalité du TMS au rapport des prix :

En utilisant la contrainte budgétaire, on obtient :
(2)
La condition d’égalité du TMS au rapport des prix devient :



soit



On obtient ensuite

en utilisant (2) :



Pour déterminer q, on utilise le fait qu’à l’équilibre, les quantités consommées sont égales aux quantités disponibles, soit sur le marché 1:

2



Autrement dit :




On vérifie facilement que, pour cette valeur de q, le marché du bien 2 est aussi en équilibre.
On en déduit les quantités consommées au point d’équilibre :

ou

ou
b.
La courbe des contrats est la courbe qui relie l’ensemble des optima de Pareto dans un diagramme d’Edgeworth. La définition de l’optimum de Pareto dans une économie d’échange avec 2 individus A et B peut s’exprimer dans la manière suivante : l’utilité de l’individu A est maximale sous contrainte que celle de B soit maintenue à son niveau donné. Autrement dit, un optimum résulte d’un programme de type suivant :
Max.
s.c.
(
est donné)
( est donné)
(

est donné)

Résolution à l’aide d’un Lagrangien :

En annulant les dérivées partielles, il vient :

3

En retravaillant ces équations de manière à éliminer soit :

Finalement :

,

et

, on trouve :

et

soit

soit :

ou encore

La condition d’optimalité est donc l’égalisation des TMS des individus. Nous n’avons plus qu’à utiliser cette propriété pour définir l’équation de la courbe des