TP D’Arithmétique et cryptographie

1 ARITHMETIQUE
1.1 ALGORITHME D’EUCLIDE ET COEFFICIENTS DE BEZOUT
1. Le PGCD de 336 et 102
336=102*3+30
102=30*3+12
30=12*2+6
12=6*2+0
Donc le PGCD (336 ; 102) = 6

2. L’ensemble des diviseurs commun de 336 et 102 sont donc 1 , -1 , 2 , -2 , 3 , - 3 ,6 , -6
3. Calculons les coefficients de Bézout de 336 et 102 en remontant l’algorithme d’Euclide

6=30-(12 * 2)
6=30-(102-30*3)x2
6=102 * (-2) + 30 * 7
6=102 x (-2) +(336 – 102 ) x7 6 = 336 * 7 + 102 * (-23)

Les coefficients de Bézout sont donc 7 et -23 u = 7 et v = -23

1.2 APPLICATION DU THEOREME CHINOIS
1. Ce problème correspond au système de congruence suivant :

2. On donne m1 = 7 a1 = 5 et m2 = 6 a2 = 3
On sait que M= m1*m2=7*6= 42

on fait les inverses multiplicatifs :
Soit M1 = m2 = 6 et M2 = m1 = 7
On cherche les inverses multiplicatifs de 6[7] et de 7[6.]
On a donc y1 = 6 et y2 = 1

On applique donc la formule du théorème chinois qui nous dit que :

X = a1M1y1 + a2M2y2

X= 5x6x6 + 3x7x1

3.

2.CHIFFRAGE AFFINE
2.1 CHIFFREMENT
1. PGCD(a ;26)=1 est une condition à respecter pour le chiffrement affine, cela évite que deux lettres soit chiffrées par la même lettre.

Calcule de PGCD (25 ;26) à l’aide de l’algorithme d’Euclide :
26=25*1+1
25=1*25+0
PGCD ( 25 ; 26) = 1
Donc PGCD (25 ; 26) = 1 et comme il n’ y a pas de condition exigée sur b donc les constantes conviennent (a=25 et b=1).

2.
Claire
a b c d e f g h i j k
L
m n o p q r s t u v w x y z x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25 y 1
0
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
codé b a z y x w v u t s r q p o n m
L

k j i h g f e d c

3. Le chiffrement de « Candes Saint Martin « Est « Zboyxj Jbtoi PbkIto».

2.2 DECHIFFREMENT
1. La ralation de dechiffrage est : y=17x+6[26]
2. Calculons tout d’abord le PGCD (17 ; 26) à l’aide de l’algorithme d’Euclide :
26=17*1+9
17=9*1+8
9=8*1+1
8=1*8+0
Donc PGCD ( 26 ; 17) = 1 donc 17 admet un inverse