Indications de correction du devoir surveillé no 1

Partie A

On saisit en entrée le nombre S = 81 200 000. Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats à l’unité. Quel nombre obtient-on en sortie ?
U

81 751 602

81 571 748

81 392 291

81 213 228

81 034 558

N

0

1

2

3

4

Test U > S

Vrai

Vrai

Vrai

Vrai

Faux

Le nombre obtenu en sortie est donc 4 .

Partie B

On note u n l’effectif de la population de l’Allemagne au premier janvier 2011 + n.
1) u 0 désigne la population en 2011, donc u 0 = 81 751 602 . On calcule ensuite 0, 22 % de 81 751 602 :
0, 22 × 81 751 602
≈ 179 854 , finalement, u 1 = 81 751 602 − 179 844 soit u 1 = 81 571 748 .
100
2) a) u n+1 = u n − 0,22
100 × u n = 1 − 0,002 2 u n = 0,997 8 × u n donc la suite (u n ) est géométrique de premier terme 81 751 602 et de raison 0,997 8.
b) u n = 81 751 602 × (0,997 8)n .
3) Si cette évolution de −0, 22 % se confirme :
a) Pour n = 24, u 24 = 81 751 602 × 0,997 824 ≈ 77 542 583 donc l’effectif de la population de l’Allemagne au premier janvier 2035 serait 77 542 583 habitants .
b) D’après le tableau de la Partie A, la population passera au-dessous du seuil de 81 200 000 habitants en 2015 .

Partie C

Dans cette partie, on tient compte des flux migratoires : on estime qu’en 2011 , le solde migratoire
(différence entre les entrées et les sorties du territoire) est positif en Allemagne et s’élève à 49 800 personnes.
On admet de plus que le taux d’évolution de −0, 22 % ainsi que le solde migratoire restent constants les années suivant 2011.
1) D’après l’énoncé,pour tout entier naturel n, v n+1 = 0,997 8 × v n + 49 800 .
Premier terme : v 0 = u 0 + 49 800 = 81 751 602 + 49 800 = 81 801 402 .
2) v 1 = 0,997 8 × v 0 + 49 800 = 0,997 8 × 81 801 402 + 49 800 ≈ 81 671 239 . v 2 = 0,997 8 × v 1 + 49 800 = 0,997 8 × 81 671 239 + 49 800 ≈ 81 541 363 .
Avec ce modèle, la population de l’Allemagne semble encore diminuer malgré le flux migratoire positif de 49 800