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Aides au DS4

TS3 version 2011

exercice 1 sur l’espace
L’espace est rapporté à un repère orthonormal O, ı, , k . Soit (P) le plan d’équation : 3x + y − z − 1 = 0 et (D) la droite dont une représentation paramétrique est   x = −t + 1 y = 2t où t désigne un nombre réel.  z = −t + 2 (a) Le point C(1 ; 3 ; 2) appartient-il au plan (P) ? Justifier. (b) Démontrer que la droite (D) est inclusedans le plan (P). 2. Soit (Q) le plan passant par le point C et orthogonal à la droite (D). (a) Déterminer une équation cartésienne du plan (Q). (b) Calculer les coordonnées du point I, point d’intersection du plan (Q) et de la droite (D). √ (c) Montrer que CI = 3. 3. Soit t un nombre réel et Mt le point de la droite (D) de coordonnées (−t + 1 ; 2t ; −t + 2). (b) Montrer que CI est la valeurminimale de CMt lorsque t décrit l’ensemble des nombres réels. (a) Vérifier que pour tout nombre réel t, CMt2 = 6t2 − 12t + 9.

1.

corrigé
1. (a) C(1 ; 3 ; 2)∈ (P) ⇐⇒ 3 × 1 + 3 − 2 − 1 = 0 ⇐⇒ 3 = 0, faux. Le point C n’appartient pas au plan (P). (b) Soit M un point de (D). M ∈ (P) ⇐⇒ 3(−t + 1) + 2t − (−t + 2) − 1 = 0 ⇐⇒ −3t + 3 + 2t + t − 2 − 1 = 0, vrai quel que soit t. Tout point de (D) estun point de (P), donc la droite (D) est incluse dans le plan (P). 2. (a) Un vecteur normal au plan (Q) est un vecteur directeur de (D) ; d’après la représentation paramétrique les coordonnées d’un vecteur directeur de (D) sont (−1 ; 2 ; −1). Une équation du plan (Q) est donc : M (x ; y ; z) ∈ (Q) ⇐⇒ −x + 2y − z + d = 0. Or C(1 ; 3 ; 2)∈ (Q) ⇐⇒ −1 + 2 × 3 − 2 + d = 0 ⇐⇒ 3 + d = 0 ⇐⇒ d = −3.Conclusion : M (x ; y ; z) ∈ (Q) ⇐⇒ −x + 2y − z − 3 = 0.

(b) Soit M (−t + 1 ; 2t ; −t + 2) un point de (D). M ∈ (Q) ⇐⇒ −(−t + 1) + 2 × 2t − (−t + 2) − 3 = 0 ⇐⇒ t − 1 + 4t + t − 2 − 3 = 0 ⇐⇒ 6t − 6 = 0 ⇐⇒ t = 1. Donc le point commun I à (Q) et à la droite (D) a pour coordonnées (−1 + 1 ; 2 × 1 ; −1 + 2) = (0 ; 2 ; 1). − → (c) On a CI (−1 ; −1 ; −1). − − → → Donc CI2 = CI · CI = 1 + 1 + 1 = 3. √Conclusion CI = 3. 3. Soit t un nombre réel et Mt le point de la droite (D) de coordonnées (−t + 1 ; 2t ; −t + 2). −→ − (a) On calcule les coordonnées de CMt (−t + 1 − 1 ; 2t − 3 ; −t + 2 − 2) soit (−t ; 2t − 3 ; t). −→ −→ − − On a CMt2 = CMt · CMt = (−t)2 + (2t − 3)2 + t2 = t2 + 4t2 + 9 − 12t + t2 = 6t2 − 12t + 9. (b) CMt2 = 6t2 − 12t + 9 = 6 t2 − 2t +

9 3 1 = 6 (t2 − 2t + 1) − 1 + = 6 (t − 1)2 + .6 2 2 Le minimum de ce trinôme somme de deux carrés est obtenue lorsque le premier carré est nul √ 1 soit pour t = 1 et la valeur minimale de trinôme est égale à CMt2 = 6 × = 3 ⇒ CMt = 3. 2 CI est bien la valeur minimale.

1

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TS3 version 2011

exercices primitives
exercice 1
Déterminer les réels a, b, c tels que la fonction F définie sur R par : F (x) =(ax2 + bx + c)e2x soit une primitive de la fonction f définie sur R par : f (x) = (xex )2 .

exercice 2
Calculer une primitive des fonctions suivantes sur I : 1. f (x) = (2x + 1)3 sur I = R. 1 3 3 2. g(x) = − sur I =] ; +∞[. 3 4 (3x + 1) (3 − 4x) 4 2 ex + 1 + 3x − x3 + 2 sur I = R∗ . + 3 x x 3 3x 4. i(x) = √ sur I = R. 2x4 + 5 1 √ 5. j(x) = √ sur I = R∗ . + x(4 + 3 x)2 π π 6. k(x) = tan x +tan3 x sur I =] − ; [ 2 2 3. h(x) =
1

exercice 3
1 . x On note F la primitive de la fonction f sur I qui s’annule en 1. (oui je sais c’est ln ...) Le but de cet exercice est de donner une propriété vérifiée par F ,sans pour autant pouvoir la calculer... Soit f définie sur I = R∗ par f (x) = + 1. Justifier l’existence de F sur I , puis donner les variations de F sur I. 2. Démontrer que ∀x ∈ R on aF (exp x) = x

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2

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TS3 version 2011

corrigé Exercice I
1 or ∀x ∈ R on a F ′ (x) = (2ax2 + (2a + 2b)x + b + 2c)e2x = f (x) d’ou en identifiant à f (x) : a = ; b = 2 1 1 − ; c = ... 2 4 F est une primitive de f sur R si ∀x ∈ R , F ′ (x) = f (x) Remarquons par ailleurs que f (x) = x2 e2x ....

Exercice II
Je vous donne ici les...
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