Devoir surveillé 3 - Version 1
CORRECTION
y

Exercice 1 : Un artisan fabrique des objets. Il ne peut pas en fabriquer plus de 70 par semaine. On suppose que tout objet fabriqué est vendu.
Le coût de fabrication de x objets, en euros, est modélisé par la fonction définie sur [0 ; 70] par :
C(x)= x² + 20x + 300
On donne la courbe représentative de C ci-contre.
1°) On souhaite déterminer le coût de production de 50 objets et le nombre de produits pour un coût de 3000€. a°) Résoudre graphiquement ce problème.
Coût pour 50 objets : 3750 € environ
Nombre d’objets pour 3000€ : 42 environ

Coût de fabrication en €
7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000
Nombre d'objets
0

10

20

30

40

50

60

70

b°) Résoudre algébriquement (c’est-à-dire par le calcul) ce problème.
Coût pour 50 objets : on calcule C(50) soit 3800
Nombre d’objets pour 3000€ : on résout x²+20x+300=3000 soit x²+20x-2700 = 0
Le discriminant vaut 20²-4(-2700)=11200 strictement positif donc deux racines. On ne garde ici que la solution positive soit > =

?@AB√DD@AA
@

≈ 42,91

c°) Comparer les résultats obtenus.
Les résultats obtenus sont conformes à ceux obtenus par lecture graphique aux erreurs de lecture près.
2°) Chaque objet fabriqué est vendu 80€. On note R(x) la recette obtenue par la vente de x objets, en euros. a°) Justifier que R(x) = 80x pour x ∈ [0 ; 70]
80€ pour 1 objet donc 80x € pour x objets (c’est de la proportionnalité) donc R(x) = 80x b°) Tracer la représentation graphique de R sur le repère précédent
Droite verte passant par l’origine et de coefficient directeur 80. (pour 60 objets, 4800 €) c°) Par lecture graphique déterminer la quantité à fabriquer pour que l’artisan réalise un bénéfice.
Il y a bénéfice lorsque R(x) > C(x) donc lorsque la courbe de R est au-dessus de celle de C soit entre 6 et 55 objets environ d°) Résoudre x² + 20x + 300 > 80x. Interpréter ce résultat.
On cherche les valeurs de x telles que x²+20x+300-80x > 0 ce qui revient à étudier le signe du trinôme x²-60x+300. Le