Equations cartésiennes d’une droite
I) Vecteur directeur d’une droite :
1) Définition
Soit (d) une droite du plan.
Un vecteur directeur d’une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la droite (d).

qui possède

Exemple 1 :
Toute droite possède une infinité de vecteurs directeurs.

Remarque : Soit colinéaire au vecteur

un vecteur directeur de la droite (d).Tout vecteur non nul et est aussi vecteur directeur de cette droite.

Exemple 2 :

Remarques :
• Deux points distincts quelconques de la droite (d) définissent un vecteur directeur de cette droite.

• La donnée d’un point A et d’un vecteur

non nul définissent une unique droite (d).

• Deux droites (d) et (d’) sont parallèles si tout vecteur directeur de l’une est aussi vecteur directeur de l’autre.

II) Equations cartésiennes d’une droite
1) Propriété
Toute droite (d) a une équation de la forme avec ( ; )

(0 ; 0). Un vecteur directeur de (d) est

Remarque :

Une

droite

En effet, si non nul,

(- ; )

(d) admet une infinité d’équations cartésiennes est une équation cartésienne de (d), alors pour tout réel est une autre équation de la même droite.

2) Propriété réciproque
L’ensemble des points M (
) vérifiant l’équation :
( ; ) (0 ; 0) est une droite de vecteur directeur ( - ; )

avec

Démonstration :
Soit (d) une droite, A(
Soit M ( ;

,

un point de (d) et

(

) un vecteur directeur de (d).

un point du plan.

« M appartient à (d) » équivaut à :
«
«

(

;

(

)-

) et
(

(

) =0

) sont colinéaires », qui équivaut à : qui équivaut à :

=0
Posons

;

et

Cette dernière équation s’ écrit coordonnées (
; ).

Si

0, alors

0,

. et , vecteur directeur de (d), a pour

équivaut à :

. Attention l’ensemble des

points M cherché, est donc une droite parallèle à l’axe des abscisses.

Si

0, alors

0,

équivaut à :

. Attention l’ensemble des

points M cherché, est donc une droite parallèle à l’axe des ordonnées.

3) Exemples
Exemple 1 : Déterminer l’équation cartésienne d’une droite, connaissant un