2003 2
EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP
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MATHEMATIQUES 2
Durée : 4 heures
Les calculatrices sont interdites. ***
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Calculs de distances entre une matrice et certaines parties de Mn ( ! )
Notations Dans ce sujet, n est un entier naturel non nul et on note : Mn ( ! ) : la ! -algèbre des matrices carrées réelles d’ordre n.
Mn,1 ( ! ) : le ! -espace vectoriel des matrices à n lignes et à une colonne.
Pour une matrice A de Mn ( ! ) , t A est sa matrice transposée, rang ( A) son rang et Tr ( A) sa trace.
In : la matrice unité de Mn ( ! ) .
S n ( ! ) : le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de Mn ( ! ) . An ( ! ) : le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques de Mn ( ! ) . S n + ( ! ) : l’ensemble des matrices positives de S n ( ! ) c’est-à-dire des matrices A de S n ( ! ) vérifiant : pour toute matrice X ∈ Mn ,1 ( ! ) , t X A X ≥ 0 . GLn( ! ) : le groupe des matrices inversibles de Mn ( ! ) .
On ( ! ) : le groupe des matrices réelles orthogonales c’est-à-dire des matrices M de Mn ( ! )
Pour p entier naturel, ∆ p est l’ensemble des matrices de Mn ( ! ) de rang supérieur ou égal à p et vérifiant : tM M = I n .
∇ p est l’ensemble des matrices de Mn ( ! ) de rang inférieur ou égal à p.
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Objectifs
Le but du sujet est de calculer la distance (par la norme de Schur définie à la question II.3.) d’une matrice à : dans la partie II., S n ( ! ) et An ( ! ) par le théorème de projection orthogonale, dans la partie III., On ( ! ) par le théorème de décomposition polaire, dans la partie IV., ∆ p par des notions de densité, dans la partie