2003 2

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SESSION 2003

EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP
_______________________

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites. ***
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devrapoursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Calculs de distances entre une matrice et certaines parties de Mn ( ! )
Notations Dans ce sujet, n est un entier naturel non nul et on note : Mn ( ! ) : la ! -algèbre des matrices carrées réelles d’ordre n.

Mn,1 ( ! ) : le ! -espace vectoriel des matrices à n lignes et à une colonne.
Pour unematrice A de Mn ( ! ) , t A est sa matrice transposée, rang ( A) son rang et Tr ( A) sa trace.

In : la matrice unité de Mn ( ! ) .

S n ( ! ) : le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de Mn ( ! ) . An ( ! ) : le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques de Mn ( ! ) . S n + ( ! ) : l’ensemble des matrices positives de S n ( ! ) c’est-à-dire des matrices A de S n ( ! )
vérifiant :pour toute matrice X ∈ Mn ,1 ( ! ) , t X A X ≥ 0 . GLn( ! ) : le groupe des matrices inversibles de Mn ( ! ) .

On ( ! ) : le groupe des matrices réelles orthogonales c’est-à-dire des matrices M de Mn ( ! )
Pour p entier naturel, ∆ p est l’ensemble des matrices de Mn ( ! ) de rang supérieur ou égal à p et vérifiant : tM M = I n .

∇ p est l’ensemble des matrices de Mn ( ! ) de rang inférieurou égal à p.
Tournez la page S.V.P.

2

Objectifs

Le but du sujet est de calculer la distance (par la norme de Schur définie à la question II.3.) d’une matrice à : dans la partie II., S n ( ! ) et An ( ! ) par le théorème de projection orthogonale, dans la partie III., On ( ! ) par le théorème de décomposition polaire, dans la partie IV., ∆ p par des notions de densité, dans la partieV., ∇ p par le théorème de Courant et Fischer. La partie I. traite un exemple qui sera utilisé dans les différentes parties. Remarque : dans le texte, le mot « positif » signifie « supérieur ou égal à 0 ».

I.

Exercice préliminaire

2 1   1   1. Soit la matrice Γ =  − 2 − 1 − 1  de M3 ( ! ) , on pose H = t Γ Γ .  −1 −1 − 2   Diagonaliser la matrice H et déterminer une matrice P de O3 ( ! ) et une matrice diagonale D à

termes tous positifs telles que D2 = P−1 H P .

2. On pose S = P D P−1 ∈ S 3+ ( ! ) , montrer que la relation Γ = U S définit une matrice
U ∈ O 3 ( ! ) et calculer cette matrice.

II.

Calcul de la distance de A à S n ( ! ) et à An ( ! )

3. Soit A et B deux matrices de Mn ( ! ) , on pose (A B) = Tr (tA B) .
Montrer que l’on définit ainsi unproduit scalaire sur Mn ( ! ) . La norme associée à ce produit scalaire (norme de Schur) est notée : A = ( (A A) )2 . Dans tout le sujet, si Π est une partie non vide de Mn ( ! ) , la distance d’une matrice A de
1

Mn ( ! ) à la partie Π est le réel d ( A, Π ) = inf A − M .
M ∈Π

4. Montrer que Mn ( ! ) = S n ( ! ) ⊕ An ( ! ) et que cette somme directe est orthogonale. 5. Si A est une matrice deMn ( ! ) , montrer que d ( A, S n ( ! ) ) =
même d ( A, An ( ! ) ). 1 ( A− t A) et déterminer de 2

6. Calculer d (Γ, A 3 ( ! ) ) où Γ est la matrice exemple de la partie I.

3

III.

Calcul de la distance de A à On ( ! )

A. Théorème de la décomposition polaire 7. Montrer qu’une matrice S de S n ( ! ) appartient à S n + ( ! ) si et seulement si toutes les valeurs
propres de S sontpositives ou nulles.

8. Si A est une matrice de Mn ( ! ) montrer que la matrice t A A ∈ S n + ( ! ) . 9. Soit A une matrice de Mn ( ! ) , on suppose qu’il existe une matrice diagonale
D = diag (d1 , d 2 , ..., d n ) à termes positifs telle que t A A = D 2 . On note A1 , A2 ,..., An les matrices de Mn ,1 ( ! ) qui forment les colonnes de la matrice A. En particulier, si i est un entier pour...
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