Association pour l’animation math´ ematique Institut Henri Poincar´e, 11 rue Pierre et Marie Curie,
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Solutions du
´
TEST DE SELECTION du 5 juin 2008

Stage olympique de Gr´esillon
18 – 27 aoˆ ut 2008
Exercice 1. Soient A, B, C, M et N cinq points distincts du plan, v´erifiant
AM 2 − AN 2 = BM 2 − BN 2 = CM 2 − CN 2 .
Montrer que A, B et C sont align´es.
Solution. Il existe de nombreuses mani`eres de r´esoudre ce probl`eme. Pour ceux qui connaissent le produit scalaire, la m´ethode classique consiste `a ´ecrire
−−→ −−→ −−→ −−→
−
→ −−→
AM 2 − AN 2 = (AM + AN )(AM − AN ) = 2AI · N M
−
→ −−→
−→ −−→ en appelant I le milieu de [N M ]. On a donc AI · N M = BI · N M d’o` u l’on d´eduit
−
→
−→
non pas que AI = BI (« diviser par un vecteur » est une erreur `a ne pas faire) mais
−
→ −→ −−→ que (AI − BI)N M = 0, ce qui signifie que (AB) est perpendiculaire `a (N M ). On prouve de mˆeme que (AC) est perpendiculaire `a (N M ), donc que B et C sont tous deux sur la droite passant par A et perpendiculaire `a (M N ).
Mais cette d´emonstration, accessible `a certains ´el`eves de premi`ere, n’est ni la seule ni la meilleure. Si l’on appelle A la projection orthogonale de A sur (M N ), le th´eor`eme de
Pythagore suffit pour ´ecrire AM 2 = AA 2 + A M 2 et AN 2 = AA 2 + A N 2 , d’o` u AM 2 − AN 2 = A M 2 − A N 2 .
Si l’on appelle, donc, A , B et C les projections orthogonales respectivement de A, B,
C sur (M N ), on a A M 2 − A N 2 = B N 2 − B N 2 = C M 2 − C N 2 , mais A , B et C
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appartiennent tous trois `a la droite (M N ). Sur cette droite, il suffit d’utiliser des mesures alg´ebriques :
A M 2 − A N 2 = (A M + A N )(A M − A N ) = (2A M + M N )N M .
S’agissant ici de mesures alg´ebriques, donc de nombres r´eels, on peut diviser par N M pour en d´eduire finalement que A M = B M = C M donc que A = B = C . A, B, C ont mˆeme projection orthogonale sur (M N ), donc sont sur une mˆeme perpendiculaire `a
(M N ).