2010-Liban-corrige

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Terminale S

juin 2010

Liban
1. Exercice 1 (5 points) Partie A Restitution organisée de connaissances. On supposera connus les résultats suivants : * e0 = 1 . 1. Démontrer que pour tout réel x, e− x = * Pour tous réels x et y, ex × ey = ex + y .

1 ex

.

2. Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n, ex Partie B

( )

n

= enx .
e− nx 1 + e− x

On considèrela suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un = 1. a. Montrer que u0 + u1 = 1. b. Calculer u1. En déduire u0. 2. Montrer que pour tout entier naturel n, un ≥ 0 . 3. a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, un+1 + un = b. En déduire que pour tout entier naturel n non nul, un ≤ 4. Déterminer la limite de la suite (un). 2. Exercice 2 (4 points) L’espace est muni d’un repèreorthonormal (O ; i , j , k ) .



1 0

dx .

1 − e− n . n

1 − e− n . n

On note (D) la droite passant par les points A(1 ; −2 ; −1) et B(3 ; −5 ; −2).

 x = 1 + 2t  1. Montrer qu’une représentation paramétrique de la droite (D) est :  y = −2 − 3t , t ∈ ℝ .  z = −1 − t   x = 2−k  2. On note (D’) la droite ayant pour représentation paramétrique :  y = 1 + 2k , k ∈ ℝ . z=k Montrer que les droites (D) et (D’) ne sont pas coplanaires. 3. On considère le plan (P) d’équation 4x + y + 5z + 3 = 0. a. Montrer que le plan (P) contient la droite (D). b. Montrer que le plan (P) et la droite (D’) se coupent en un point C dont on précisera les coordonnées. 4. On considère la droite ( ∆ ) passant par le point C et de vecteur directeur w ( 1 ; 1 ; − 1 ) . a. Montrer que les droites( ∆ ) et (D’) sont perpendiculaires. b. Montrer que la droite ( ∆ ) coupe perpendiculairement la droite (D) en un point E dont on précisera les coordonnées. 3. Exercice 3 (5 points, non spécialistes) Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.
Terminale S Liban 1 corrigé : http://mathemitec.free.fr/ juin 2010 Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même nonfructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. 1. Une urne contient une boule blanche et deux boules noires. On effectue 10 tirages successifs d’une boule avec remise (on tire une boule au hasard, on note sa couleur, on la remet dans l’urne et on recommence).1 2 Proposition 1 : « La probabilité de tirer exactement 3 boules blanches est 3 ×   ×   » 3 3
2. Une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ ( λ > 0 ). On rappelle que pour tout réel a > 0 : p ( X ≤ a ) =
a 0

3

7



λ e− λ t dt .
ln 2


Proposition 2 : « Le réel a tel que p ( X > a ) = p ( X ≤ a ) est égal à 3. Soit le nombre complexe z = 1 −i 3 .

λ

Proposition 3 : « Si l’entier naturel n est un multiple de 3 alors zn est un réel. » 4. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) , le point A d’affixe a = 2 − i et le point B d’affixe b =

1+ i a. 2

Proposition 4 : « Le triangle OAB est rectangle isocèle. » 5. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ), à tout point M d’affixe z non nulle on associe le point M’ d’affixe z’ telle que z ' = où z désigne le nombre conjugué de z. z Proposition 5 : « Il existe un point M tel que O, M et M’ ne sont pas alignés. »

−10

4. Exercice 3 (5 points, spécialistes) Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie. Uneréponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. 1. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) , le point A d’affixe 2 − i et B l’image de A par la rotation de centre O et d’angle

π
2

.

On note I le milieu du segment...
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