Terminale S

juin 2010

Liban
1. Exercice 1 (5 points) Partie A Restitution organisée de connaissances. On supposera connus les résultats suivants : * e0 = 1 . 1. Démontrer que pour tout réel x, e− x = * Pour tous réels x et y, ex × ey = ex + y .

1 ex

.

2. Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n, ex Partie B

( )

n

= enx . e− nx 1 + e− x

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un = 1. a. Montrer que u0 + u1 = 1. b. Calculer u1. En déduire u0. 2. Montrer que pour tout entier naturel n, un ≥ 0 . 3. a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, un+1 + un = b. En déduire que pour tout entier naturel n non nul, un ≤ 4. Déterminer la limite de la suite (un). 2. Exercice 2 (4 points) L’espace est muni d’un repère orthonormal (O ; i , j , k ) .

∫

1 0

dx .

1 − e− n . n

1 − e− n . n

On note (D) la droite passant par les points A(1 ; −2 ; −1) et B(3 ; −5 ; −2).

 x = 1 + 2t  1. Montrer qu’une représentation paramétrique de la droite (D) est :  y = −2 − 3t , t ∈ ℝ .  z = −1 − t   x = 2−k  2. On note (D’) la droite ayant pour représentation paramétrique :  y = 1 + 2k , k ∈ ℝ . z=k 
Montrer que les droites (D) et (D’) ne sont pas coplanaires. 3. On considère le plan (P) d’équation 4x + y + 5z + 3 = 0. a. Montrer que le plan (P) contient la droite (D). b. Montrer que le plan (P) et la droite (D’) se coupent en un point C dont on précisera les coordonnées. 4. On considère la droite ( ∆ ) passant par le point C et de vecteur directeur w ( 1 ; 1 ; − 1 ) . a. Montrer que les droites ( ∆ ) et (D’) sont perpendiculaires. b. Montrer que la droite ( ∆ ) coupe perpendiculairement la droite (D) en un point E dont on précisera les coordonnées. 3. Exercice 3 (5 points, non spécialistes) Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.
Terminale S Liban 1 corrigé : http://mathemitec.free.fr/ juin 2010