Fonctions homographiques
On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe représentative d’une fonction homographique. On résout les équations de type f(x)=k, dont les propriétés sont particulières quand f est une fonction homographique. I) Définition 1 : fraction.
Soit f et g deux fonctions affines. Il existe quatre réels a, b, c et d tels que f(x)=a +b et g(x)=c +d pour tout x réel.
On définit la fonction h en posant

On constate que, si c est non nul, alors l’équation g(x)=0 admet une unique solution

. On ne pourra donc définir la fonction h que sur des

domaines ne comprenant pas la valeur

.

Si c est nul et d est non nul, la fonction g est constante et par conséquent h est affine.
Si c et d sont nuls, h n’est pas définie.

Remarques à ne lire qu’en deuxième lecture. On constate qu’en réalité, des conditions plus restrictives doivent être observées pour obtenir une fonction h homographique non triviale, c’est-à-dire sans simplification.
- Il faut que c et d ne soient pas simultanément nuls, sans quoi on ne peut définir le rapport. - Si a et b sont simultanément nuls, alors la fonction h est identiquement nulle, cas à écarter lui aussi.
- On écarte le cas c=0 et d non nul dans lequel la fonction g est constante et par conséquent h est affine.
- Reste un cas plus délicat à exclure : soit et les deux vecteurs de composantes respectives (a ;b) et (c ;d), supposés non nuls.
Supposons que ces deux vecteurs sont colinéaires. Alors, il existe un réel k tel que a=kc et b=kd. Donc pour x différent de – / ,
Dans ce cas précis, la fonction h est une fonction constante, cas à écarter également.
Ces difficultés sont toutes résolues si ad-bc et c sont non nuls, comme on peut le voir en étudiant l’identité

II) Définition 2 : algorithme.
Dans ce paragraphe, on propose de construire une fonction particulière en enchaînant le calcul de plusieurs fonctions élémentaires.
Les