Equations de Maxwell

Equations de Maxwell
1 Opérateurs différentiels
1.1 Le gradient
1.1.1 Définition
Définition :
Le gradient permet de construire un champ de vecteur à partir d’un champ scalaire.
En coordonnées cartésiennes, il est donné par :
 m 
 m 
 m  grad  m   
uy  
 ux  
 uz
 x 
 z 
 y 

(1)

Interprétation physique :
Le vecteur grad  m  est normal aux surfaces de niveau (m = constante). Il est dirigé vers les valeurs croissantes de m.
1.1.2 Champ de gradient
Définition :
Un champ de vecteur a est dit champ de gradient si il existe une fonction scalaire m telle que : a   grad  m  m est appelé potentiel scalaire du champ a et est défini à une constante additive près.
Propriété :
Pour tout contour fermé, on a :

 a.dl  0


1.2 La divergence
1.2.1 Définition
Définition :
La divergence permet de construire un champ scalaire à partir d’un champ de vecteur.
En coordonnées cartésiennes, elle est donnée par :
 a   a y   az  div a   x   


 x   y   z 



(2)

Interprétation physique :
Le signe de la divergence de a calculée au point M est lié au caractère convergent ou divergent des lignes de champs à partir de ce point.
1.2.2 Théorème de Green-Ostrogradsky
Théorème de Green-Ostrogradsky :
Soit une surface fermée S limitant un volume fini V à l’intérieur duquel est défini un champ de vecteur a . Si les dérivées partielles de a sont bornées dans V alors :

 a  dS    diva  dV
S

V

Interprétation physique :
La divergence représente le flux sortant d’une surface fermée localement par unité de volume.

2014/2015

Diane Cabaret de Alberti

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Equations de Maxwell

1.3 Le rotationnel
1.3.1 Définition
Définition :
Le rotationnel permet de construire un champ de vecteur à partir d’un champ de vecteur.
En coordonnées cartésiennes, il est donné par :
 a a y 
 a y ax 
 ax az 
(3)
rot a   z 

uy  

 ux  
 uz

z 
x 
y 
 z
 y
 x
Interprétation physique :
Il exprime la