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I) Généralités:
YOUSSEFBOULILA
Une unité de longueur est fixée dans tout ce cours, le cm. par exemple
1) Définition:
On retiendra:
On appelle produit scalaire des deux vecteurs A B et AC de E ,
le réel noté: A B . AC
AB ou AC Alors AB. AC 0
Si
0
0
défini par:
Si non AB. AC AB AC cosAB, AC
Remarque: L’angle AB, AC , n’est pas orienté, sa mesure en radian est un réel de l’intervalle: 0;
2) Vocabulaire, notation: a) Pour tout vecteur u = XY de E , on note: u la longueur XY u s’appelle la norme du vecteur u
b) Pour signifier que l’on a défini un produit scalaire dans E , on dit que E est l’espace euclidien de dimension 3
On retiendra:
u = XY ; u = XY
u 2 = u . u = XY . XY = XY XY u . v = u v cos u, v
k.u =
=
=
II) Propriétés du produit scalaire:
1) Commutativité: Pour tous vecteurs: u et v de E , u . v =
2)a) Pour tout réel k et tout vecteur u de E , u .(k v ) =
b) Pour tous réels et et tous vecteurs u et v de E ,
=
( u ).( v ) =
3) Distributivité du produit scalaire par rapport à l’addition des vecteurs:
a) Pour tous vecteurs: u ; v et w de E , u .( v + w ) =
(Admis)
b) Pour tous réels: ; ;’ et ’ ,et tous vecteurs: u ; v ; u ’ et v ’ de E ,
( u + v ).(’ u ’+’ v ’) =
c) En particulier: ( u + v ).( u - v ) =
4) Orthogonalité et produit scalaire:
; ( u + v )2 =
; ( u - v )2 =
=
u 0 ou v = 0
ou
a) Définition: Deux vecteurs u et v de E sont orthogonaux lorsque:
u 0 et v 0 et u, v
2
v
b) Propriété: i) Si u
Alors: u . v = ii) Si u . v = 0 Alors: *) Si u = 0 ou v = 0 Alors: uv *) Si u 0 et v 0 Alors: cos( u , v ) =
Alors:
Alors:
On retiendra: Pour tous vecteurs: u et v de E , u v u . v = 0
5) Théorèmes de Pythagore:
2
2
a) Théorème de Pythagore: Démontrer que: u v u