Cinq solides Platoniciens

Le sujet principal des travaux sur la géométrie de Pacioli et de Léonard, a porté sur la maîtrise du principe des cinq solides platoniciens extrait du Timée [6] de Platon (environ 427-347 av. J-C). C’est la preuve que dans l’espace visible (« Euclidien »), seules cinq espèces de polyèdres réguliers peuvent être construites par les méthodes de la géométrie synthétique. Ces cinq espèces sont
1. le tétraèdre régulier ;
2. le cube ;
3. l’octaèdre ;
4. le dodécaèdre à douze faces ;
5. l’icosaèdre à vingt faces.
(1), (3) et (5) ont pour faces des triangles équilatéraux égaux ; les faces du dodécaèdre sont des pentagones réguliers égaux. Pacioli a construit une preuve de ce théorème dans ses Proportions divines (Divine Proportione, 1494). Une preuve plus rigoureuse a été donnée par Leonhard Euler (1707-1783), preuve qui est au centre du développement par Euler de la topologie sur la base de l’analysis situs de Leibniz. On prouve facilement que chacun des quatre autres solides platoniciens est dérivé du dodécaèdre ; à ce propos, on montre également que la Section d’Or, méthode géométrique synthétique employée pour la construction d’un pentagone régulier ou d’un dodécaèdre, est le trait caractéristique de l’unicité des cinq solides platoniciens.

L’harmonie à laquelle croyait Kepler devait apparaître tout d'abord sous une forme géométrique, avec bien sûr les sphères et les orbites circulaires, mais pas seulement. Dans son Mysterium cosmographicum publié en 1595, longtemps avant qu’il ne découvrit ses fameuses lois, Kepler fit intervenir la géométrie d'une manière extrêmement originale, intercalant entre les diverses orbites planétaires les « solides platoniciens »7 dans le but de rendre compte de leur répartition dans l'espace. Il n’existe que cinq polyèdres réguliers dans l’espace à trois dimensions, souvent appelés les solides platoniciens parce qu’ils ont joué un rôle considérable dans l’argumentation de Platon. Ce sont le