Classe de Première S

Éléments de correction du DM1

⋆ Exercice 1 :Les maitres nageurs disposent d’un cordon flottant d’une longueur de 400m avec lequel ils souhaitent définir une zone de baignade surveillée de forme rectangulaire.
B

C

Zone de baignade

A

D

Plage

Appelons x la longueur du côté [AB].
Ainsi AB = CD = x.
Exprimons alors en fonction de x la longueur du côté [BC].
On sait que AB + BC + CD = 400 donc BC = 400 − 2x
Par conséquent , l’aire du rectangle ABCD est égale à Aire = x × (400 − 2x) = −2x2 + 400x = f (x)
Il faut donc déterminer x pour que l’aire soit maximale c’est à dire pour que f soit maximale. f (x) = −2x2 + 400x donc f est une fonction du second degré, d’après le cours de la classe de seconde, on sait que la représentation graphique de f est une parabole tournée vers le bas ( car a < 0). Et donc on sait que f admet donc un maximum
−400
−b
. Soit pour x =
= 100 en 2a
−2 × 2 x f (x)

0

100
20000

400

Les dimensions du rectangle sont donc 100m en largeur et 200m en longueur.
⋆ Exercice 2 :
→
→
A et B sont deux points d’une parabole P d’équation y = x2 dans un repère (O; − ı ;−
 ).
M est un point du segment de [AB] et N un point de P de même abscisse que M .
On prend A(−1; 1) et B(2; 4).
Existe-t-il une position de M pour laquelle la distance M N est maximale ?
Déterminons une équation de la droite (AB). La droite (AB) est non parallèle à l’axe des ordonnées , son équation est donc de la forme y = mx + p.
Détermination de m : yB − yA
4−1
m=
=
= 1. L’équation devient donc y = x + p xB − xA
2+1
Détermination de p :
B appartient à la droite donc ses coordonnées vérifient l’équation de (AB), on a donc :
4 = 1×2+p p=2 L’équation de (AB) est donc y = x + 2
M (x; y) est un point de (AB) donc M (x; x + 2) avec x ∈ [−1; 2]
N est un point de P de même abscisse que M donc N (x; x2 )
On a donc M N = (x − x)2 + (x2 − x − 2)2 = (x2 − x − 2)2 = −x2 + x + 2 car x2 − x − 2 ≤ 0 pour x ∈ [−1; 2]
Posons g(x) = −x2 + x + 2 et cherchons pour quelle valeur de x