Chapitre 01 : Intégrales multiples
Introduction : Les intégrales multiples constituent la généralisation des intégrales dites simples : c'est-àdire les intégrales d’une fonction d’une seule variable réelle. On s’attache ici à la généralisation à des fonctions dont le nombre de variables est plus important (deux ou trois).
Rappelons qu’une fonction réelle , définie sur un intervalle [a,b], est dite Riemann intégrable si on peut l’encadrer entre deux fonctions en escalier ; d’où toute fonction continue est intégrable. L’intégrale de sur , notée

droites d’équations

, est interprétée comme l’aire comprise entre le graphe de , l’axe (X’oX) et les
. En subdivisant

, on définit l’intégrale de

I.

sur

en n sous intervalles

de même longueur

par

Intégrales doubles :

1. Principe de l’intégrale double sur un rectangle :
Soit la fonction réelle des deux variables x et y, continue sur un rectangle
. Sa représentation est une surface S dans l’espace muni du repère

Analyse03/A-U :2014-2015

de
.

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On partage D en sous-rectangles, dans chaque sous-rectangle
M(x,y) et on calcule l’image de (x,y) pour la fonction f.

on choisit un point

La somme des volumes des colonnes dont la base est des sous-rectangles et la hauteur f(x,y) est une approximation du volume compris entre le plan Z=0 et la surface S. Lorsque le quadrillage devient suffisamment « fin » pour que la diagonale de chaque sous-rectangle tende vers 0, ce volume sera la limite des sommes de Riemann et on le note

Exemple : En utilisant la définition, calculer
Remarques :

 A priori, l’intégrale double est faite pour calculer des volumes, de même que l’intégrale simple était faite pour calculer une aire.
 Dans une intégrale double, les bornes en x et y doivent toujours être rangées en ordre croissant.
Théorème : Soit D un domaine borné de .Alors toute fonction continue est intégrable au sens de Riemann.
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2. Propriétés des intégrales doubles :


L’intégrale double sur un