Cours

Premi`re ES-sp´L e e

´ Etude de fonctions

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1.1

Sens de variation
Lien avec la d´riv´e e e

Th´or`me 1 : (admis) e e f est une fonction d´finie et d´rivable sur un intervalle I. e e 1. f est croissante sur I si et seulement si f ’ est positive sur I. 2. f est est d´croissante sur I si et seulement si f ’ est n´gative sur I. e e 3. f est constante sur I si et seulement si f ’ est nulle sur I.

1.2

Exemples

1. f (x) = x2 f est d´finie et d´rivable sur R et : e e f ′ (x) = 2x f ′ (x) 0 ⇐⇒ 2x 0 ⇐⇒ x 0

Ainsi, d’apr`s le th´or`me pr´c´dent : f est croissante sur [0; +∞[ e e e e e De mˆme : e f ′ (x) 0 ⇐⇒ 2x 0 ⇐⇒ x 0 f est d´croissante sur ] − ∞; 0] e

1

1.2 Exemples

1 SENS DE VARIATION

2. f (x) = x3 + x − 1 f est d´finie et d´rivable sur R et : e e f ′ (x) = 3x2 + 1 > 0 f est donc croissante sur R

2

´ 1.3 Equation de la tangente

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EXTREMUM D’UNE FONCTION

1.3

´ Equation de la tangente

Th´or`me 2 : (admis) e e f est une fonction d´finie et d´rivable sur un intervalle I. e e a est un nombre de l’intervalle I et A le point de la courbe (C) de f d’abscisse a. Une ´quation de la tangente ` (C) en A est : e a y = f ′ (a)(x − a) + f (a)

2
2.1

Extremum d’une fonction
D´finitions e

D´finition 1 : e f est une fonction d´finie sur un intervalle I et c un nombre dans I. e 1. f admet un maximum local en c s’il existe un intervalle ouvert ]a ; b[ inclus dans I et contenant c tel que, pour tout nombre x dans ]a ; b[, on a : f (x) f (a)

2. f admet un minimum local en c s’il existe un intervalle ouvert ]a ; b[ inclus dans et contenant c tel que, pour tout nombre x dans ]a ; b[, on a : f (x) f (a)

3. Un extremum local est un maximum ou un minimum local.

2.2

Lien avec la d´riv´e e e

Th´or`me 3 : (admis) e e f est une fonction d´finie et d´rivable sur un intervalle I et c un nombre dans I. e e Si f admet un extremum local en c alors : f ′ (c) = 0

2.3

Exemples

f est d´finie et d´rivable sur I = [0;