Exercice 1 :
Soit :
K le nombre d’actifs risqués et N le nombre de scénarios. Nous avons deux actifs risqués donc K=2 et nous avons trois scénarios donc N=3.
Rij le taux de rendement correspondant à l’actif risqué i et au scénario j :

R correspond au rendement du taux sans risque :

Un marché complet est un marché là où K+1=N, ce qui est bien vérifié dans ce marché.
Pour voir s’il existe des opportunités d’arbitrage dans ce marché, nous allons voir s’il existe une mesure risque neutre. Pour savoir s’il existe une mesure risque neutre essayons de chercher trois probabilités a, b et c solutions du système d’équation suivant :

a, b et c sont les probabilités risque neutre.
En résolvant ce système d’équation, nous obtenons les résultats suivants :

Nous voyons que ces trois nombre a, b et c ne correspondent pas à des probabilités parce que le b est négatif ! Donc, nous pouvons conclure qu’il n’y a pas une mesure risque neutre et donc il y a opportunités d’arbitrage !
b) L’investisseur verra son portefeuille ayant une valeur dépendante de l’état du monde, et selon le scénario le portefeuille possèdera les valeurs suivantes :

INSERT COIN

Où P(i,j) correspond à la valeur du portfeuille à la période i et au sénario j. Sachant qu’en T=0 il n’y a pas de sénario, et on parlera alors de P(0) la valeur initiale du portefeuille.
L’investisseur voulant avoir un rendement minimum sur son portefeuille correspondant au taux sans risque, demandera selon le scénario un contrat de protection qui lui assurera les montants suivants :

Soit alors A, B et C les montants à investir respectivement dans l’actif 1 l’actif 2 et l’actif sans risque.
INSERT COIN

Selon le scénario de l’économie en t=1 ces montants donneront des nouveaux montants selon le rendement correspondant ! Dans le scénario 1 l’économie va mal et le contrat de protection doit rembourser 30 € à l’investisseur, par contre dans les autres scénarios le contrat de protection ne doit rien