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Baccalauréat ES Antilles-Guyane 19 juin 2009
Le candidat doit traiter tous les exercices. Il est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

E XERCICE 1 Commun à tous les candidats PARTIE A : aucune justification n’est demandée

4 points

Cette partie est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune desquestions, trois réponses sont proposées. Une seule de ces réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Une réponse exacte rapporte 0, 5 point. Une réponse fausse enlève 0, 25 point. L’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Si le total des points de la partie A est négatif, la note attribuée à cette partie est ramenéeà zéro. On note R l’ensemble des réels. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = (−x + 2)e−x . a. −∞ 1. La limite de la fonction f en +∞ est égale à : b. 0 c. +∞ a. n’admet aucune solution dans R 2. L ’équation f (x) = 0 : b. admet une seule solution dans R c. admet deux solutions dans R 3. L’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 0 est : a. y = −3x+ 2 b. y = −x + 2 c. y = x + 2 1 e3 −1 b. 3 e 1 c. −3 e a. 4. Le minimum de f sur R est :

PARTIE B : la réponse devra être justifiée La fonction f est celle définie dans la partie A. On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal. Étudier la position relative de la courbe C et de la droite ∆ d’équation y = −x + 2 sur l’intervalle ]0 ; 2[.

Baccalauréat ES

A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 Commun à tous les candidats Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

6 points

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ dont on donne la représentation graphique (C ) dans le repère ci-dessous.

3

2 (C )

1

A

O

1

2 (T )

e

3

4

5

On admet que – le point A de coordonnées (1 ; 1) appartient à la courbe (C ) ; – la tangente (T) en A àla courbe (C ) passe par le point de coordonnées (2 ; 0) ; – la courbe (C ) admet une tangente horizontale au point d’abscisse 2 ; – l’axe des ordonnées est asymptote à la courbe de la fonction f . Partie A 1. Donner, par lecture graphique ou en utilisant les données de l’énoncé, les valeurs de f (1), f ′ (1) et f ′ (2), où f ′ est la fonction dérivée de f sur ]0 ; +∞[. 2. On admet quel’expression de f (x) sur ]0 ; +∞[ est : f (x) = ax + b + c ln x où a, b et c sont des nombres réels. a. Calculer f ′ (x) en fonction de x et de a, b et c.
  a +b   

= = =

1 −1 0

b. Démontrer que les réels a, b et c vérifient le système

a +c

c. Déduire de la question précédente les valeurs de a, b et c, puis l’expression de f (x). Partie B Dans cette partie, on admet que la fonction freprésentée ci-dessus est définie pour tout réel x appartenant à ]0 ; +∞[ par : f (x) = x − 2ln x.
Antilles-Guyane

   

c a+ 2

2

19 juin 2009

Baccalauréat ES

A. P. M. E. P.

1. Justifier que l’axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de f . 2. a. Calculer la dérivée g ′ de la fonction g définie pour tout réel x ∈]0 ; +∞[ par : g (x) = x ln x − x. b. En déduireune primitive F de la fonction f sur ]0 ; +∞[. c. Déterminer la valeur exacte, en unités d’aires, de l’aire du domaine grisé sur le graphique ci-dessus, délimité par la courbe (C )), l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 1 et x = e.

E XERCICE 3 Commun à tous les candidats

5 points

Au tennis, le joueur qui « est au service » joue une première balle. Si elle est jugée « bonne »,il joue l’échange et peut gagner ou perdre. Si elle est jugée « faute », il joue une deuxième balle. Si cette deuxième balle est jugée « bonne », il joue l’échange et peut gagner ou perdre. Si cette deuxième balle est jugée « faute », il perd. On désigne par S 1 : l’évènement « la 1re balle de service est « bonne » ; S 2 : l’évènement « la 2e balle de service est « bonne » ; G : l’évènement «...
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