EXISTENCE ET UNICITÉ DE SOLUTION(S) D'ÉQUATION DU TYPE ¦(x) = l
I) Notion de continuité sur un intervalle Définition 1 (intuitive) : Soit ¦ une fonction définie sur un intervalle I. On dit que ¦ est continue sur I si sa représentation graphique est d'un seul tenant sur I. Exemples et contre-exemples : · La fonction représentée ci-contre est non continue sur [-3 ; 3] : en effet, elle n'admet pas de limite en 1 (la courbe fait un "saut"). Néanmoins, elle est continue sur [-3 ; 1[ et sur ]1 ; 3]. · Toute fonction polynôme est continue sur .

Théorème 1 : Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle. Théorème admis. Définition 2 : Soit ¦ une fonction définie au moins sur un intervalle I. L'image de I, notée ¦(I), est l'ensemble de tous les nombres ¦(x) où x Î I. Exemple : ¦(x) = x ; I = ]-1 ; 2] ; ¦(I) = [0 ; 4] ; J = [0 ; +¥[, ¦(J) = J ; K = [0 ; 2] ; ¦(K) = [0 ; 4]. Il se peut très bien que ¦(I) ne soit pas un intervalle. Si ¦(x) = E(x), E(x) désignant la partie entière de x, on a ¦([0 ; 1]) = {0 ; 1}. Théorème 2 : Si une fonction ¦ est continue sur un intervalle I, alors ¦(I) est un intervalle. Démonstration : admise. Mais le théorème est intuitivement évident : en effet, si ¦(I) n'est pas un intervalle, on n'arrive pas à construire une fonction ¦ continue sur I :
¦(I) I
2

Remarque : Soit ¦ une fonction dérivable (donc continue) sur un intervalle I. Si on suppose de plus que ¦ est strictement monotone alors : ¦([a ; b]) = [¦(a) ; ¦(b)] lorsque ¦ est strictement croissante ¦([a ; b]) = [¦(b) ; ¦(a)] lorsque ¦ est strictement décroissante

II) Théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.) Théorème des valeurs intermédiaires : Soit ¦ une fonction dérivable (donc continue) sur un intervalle I = [a, b]. Alors, pour tout réel l intermédiaire entre ¦(a) et ¦(b), il existe (au moins) un réel c Î I tel que ¦(c) = l. (Autrement dit, l'équation ¦(x) = l admet au moins une solution dans I)

Fonction continue sur un intervalle. TVI.