Chapitre 7 Les modèles ARMA(p,q)
7.1 Le modèle AR(1) yt = δ + φyt−1 + ǫt où t = 2, ... , T (7.1)

Le modèle AR(1) que nous connaissons intimement permet de capter l’évolution d’un nombre surprenant de séries chronologiques ... mais doit quand même baisser pavillon dans des situations un peu plus complexes. Il y a des limites à la simplicité : l’évolution de yt ne dépend pas toujours de sa seule valeur à la période précédente ! Une généralisation possible consiste alors à introduire des retards supplémentaires. L’évolution du PIB au temps t ne dépendrait pas seulement des valeurs prises en t-1 mais aussi en t-2. On a alors le modèle AR(2) yt = δ + φ1 yt−1 + φ2 yt−2 + ǫt où t = 3, ... , T (7.2)

qui, on se doute bien, permettra de capter des phénomènes plus complexes (Note : la récursivité commence à la période 3). Dans le cas, général, pourquoi ne pas faire appel au modèle AR(p) yt = δ + φ1 yt−1 + ... + φp yt−p + ǫt où t = p+1, ... , T. (7.3)

S’il est facile de concevoir que yt puisse dépendre d’un ensemble de valeurs passées, il apparaît moins évident qu’il sera possible de développer des formules simples pour synthétiser rapidement les propriétés dynamiques de ces formulations plus complexes. 188

CHAPITRE 7. LES MODÈLES ARMA(P,Q)

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Dans le cas du modèle AR(1), le coefficient φ jouait un rôle essentiel qu’il était facile de comprendre. En sera-t-il toujours ainsi ?

7.2
7.2.1

Le modèle AR(p)
Formulation matricielle

Reprenons le modèle AR(2) yt = δ + φ1 yt−1 + φ2 yt−2 + ǫt (7.4)

qui servira maintenant de référence et utilisons un truc matriciel très utile. Ainsi, on peut représenter ce modèle à l’aide des vecteurs 2x1 et d’une matrice 2x2 (notez l’astuce d’introduire yt−1 ) yt yt−1 = φ1 φ2 1 0 yt−1 yt−2 + ǫt 0 (7.5)

Yt = ΦYt−1 + εt . Pour ne pas alourdir la notation, nous allons tout simplement utiliser yt = Φyt−1 + ǫt

(7.6)

(7.7)

en sachant que yt , yt−1 et ǫt sont des vecteurs de dimension (2x1) et Φ est une matrice