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Chapitre 7 Les modèles ARMA(p,q)
7.1 Le modèle AR(1)
yt = δ + φyt−1 + ǫt où t = 2, ... , T (7.1)

Le modèle AR(1) que nous connaissons intimement permet de capter l’évolution d’un nombre surprenant de séries chronologiques ... mais doit quand même baisser pavillon dans des situations un peu plus complexes. Il y a des limites à la simplicité : l’évolution de yt ne dépend pas toujours de saseule valeur à la période précédente ! Une généralisation possible consiste alors à introduire des retards supplémentaires. L’évolution du PIB au temps t ne dépendrait pas seulement des valeurs prises en t-1 mais aussi en t-2. On a alors le modèle AR(2) yt = δ + φ1 yt−1 + φ2 yt−2 + ǫt où t = 3, ... , T (7.2)

qui, on se doute bien, permettra de capter des phénomènes plus complexes (Note : larécursivité commence à la période 3). Dans le cas, général, pourquoi ne pas faire appel au modèle AR(p) yt = δ + φ1 yt−1 + ... + φp yt−p + ǫt où t = p+1, ... , T. (7.3)

S’il est facile de concevoir que yt puisse dépendre d’un ensemble de valeurs passées, il apparaît moins évident qu’il sera possible de développer des formules simples pour synthétiser rapidement les propriétés dynamiques de cesformulations plus complexes. 188

CHAPITRE 7. LES MODÈLES ARMA(P,Q)

189

Dans le cas du modèle AR(1), le coefficient φ jouait un rôle essentiel qu’il était facile de comprendre. En sera-t-il toujours ainsi ?

7.2
7.2.1

Le modèle AR(p)
Formulation matricielle

Reprenons le modèle AR(2) yt = δ + φ1 yt−1 + φ2 yt−2 + ǫt (7.4)

qui servira maintenant de référence et utilisons un trucmatriciel très utile. Ainsi, on peut représenter ce modèle à l’aide des vecteurs 2x1 et d’une matrice 2x2 (notez l’astuce d’introduire yt−1 ) yt yt−1 = φ1 φ2 1 0 yt−1 yt−2 + ǫt 0 (7.5)

Yt = ΦYt−1 + εt . Pour ne pas alourdir la notation, nous allons tout simplement utiliser yt = Φyt−1 + ǫt

(7.6)

(7.7)

en sachant que yt , yt−1 et ǫt sont des vecteurs de dimension (2x1) et Φ est une matrice(2x2). À l’aide de cette reformulation, le modèle scalaire AR(2) peut être représenté comme un modèle AR(1) vectoriel ... et les modèles AR(1), on connaît ça !

7.2.2

Stationnarité

Pour vérifier les conditions de stationnarité d’un modèle AR(1), rien de plus simple. En supposant y1 fixe, on a montré que y2 = Φy1 (7.8)

y3 = Φy2 = Φ2 y1

(7.9)

CHAPITRE 7. LES MODÈLES ARMA(P,Q)

190...

yt = Φyt−1 = Φt−1 y1 .

(7.10)

S’il est facile de déduire les propriétés de l’opération scalaire φt−1 quand t est grand, la même opération avec une matrice Φt−1 n’est pas à première vue évidente. Un théorème important nous sera alors très utile. Théorème : Si A est une matrice réelle carrée (kxk) de rang k , alors il est possible de montrer que C−1 AC = Λ(1) où C est une matrice carrée(kxk) et Λ un matrice diagonale (kxk)   λ1 0 0    0 ... 0  . 0 0 λk Dans la même veine, on peut aussi montrer que A = C ΛC−1 (2). Note : Pour obtenir l’expression (2) on doit prémultiplier avec C et postmultiplier avec C−1 l’expression (1) et, donc on aura : CC −1 AC −1 C = CΛC −1 A = CΛC −1 car CC −1 = C −1 C = I (7.11) (7.12)

(Attention : AB = BA si A et B sont des matrices carrées).Pour les amateurs de calculs, si A= 0.8 −0.15 1 0 (7.13)

les logiciels usuels (dont RATS bien sûr) peuvent calculer C= 0.4472 .2873 .8944 .9578 (7.14)

CHAPITRE 7. LES MODÈLES ARMA(P,Q) ce qui permet de vérifier que C −1 AC = Λ = 0.5 0 0 0.3 .

191

(7.15)

On dit aussi que l’opération C−1 AC a permis de diagonaliser la matrice A. On dit aussi que 0.5 et 0.3 sont les racinescaractéristiques de la matrice A et que les colonnes de la matrice C correspondent aux vecteurs caractéristiques de la matrice A. Dans notre cas, ce théorème nous sera très utile. Ainsi, la matrice Φ (2x2) peut être représentée comme Φ = CΛC −1 (7.16) Φ2 = ΦΦ = CΛC −1 CΛC −1 = CΛ2 C −1 ... Φt−1 = CΛt−1 C −1 Φt−1 = C
t−1 0 λ1 0 λt−1 2

(7.17)

(7.18)

C −1

(7.19)

Conséquemment, on dira que le...
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