2ème année de Master – Spécialité Acoustique et Fluides http://www.loa.espci.fr/master_acoustique

Traitement du signal – Formulaire donné pour l’examen
Série de Fourier (SF) fP : signal analogique, périodique de période T0. On pose ω0 = 2π f 0 = 2π T0 .
∀t, fP (t ) = n = −∞

∑ A n e jnω0t avec A n =

∞

1 T0

T0 2

− T0 2

∫ fP (t )e − jnω0t dt

Transformée de Fourier (TF) fa(t) : signal analogique
Fa (ω) = TF{fa } = ∫ fa (t )e − jωt dt fa (t ) = TF −1 {Fa }

1 Fa (ω)e jωt dω 2π ∫

Transformée de Fourier numérique (TFN) f[n] = signal « numérique » = signal « à temps discret » = signal « échantillonné » Te désigne le pas d’échantillonnage, ωe=2π/Te=2πfe, fe= fréquence d’échantillonnage
F e jωTe = TFN{f [n]} =

(

)

n = −∞

∑ f [n]e − jnωTe
1 ωe ωe 2 − ωe 2

∞

f [n] = TFN −1 F e jωTe =

{(

)}

∫

F e jωTe e jnωTe dω =

(

)

1 F e jφ e jnφ dφ 2π −∫π

π

( )

Transformée de Fourier discrète (TFD) Avec le choix « standard » (nombre de points en fréquence M = nombre de points en temps N) on a :
F[k ] = TFD{f [n]} =
N −1 n=0

∑ f [n]e − 2πjnk / N
1 N −1 ∑ F[k ]e 2πjnk / N N k =0

f [n] = TFD −1 {F[k ]} =
∞

Transformée en z (TZ)
F(z ) = TZ{f [n]} = n = −∞

∑ f [n]z − n

Notations : suites et fonctions usuelles En analogique : δ(t) désigne la distribution de Dirac. U(t) = échelon de Heaviside = 1 pour t≥0, 0 sinon. En numérique : δ[n] = 1 si n=0, =0 sinon. U[n] = 1 pour n≥0, 0 sinon. Valeur moyenne d’une v.a. X : η X = E{X} . Variance d’une v.a. X : σ 2 = E (X − η X )2 = E{X 2 }− η 2 X X Une variable est dire centrée si sa moyenne est nulle, réduite si sa variance est égale à l’unité. X′ = (X − E{X}) σ X est nécessairement centrée et réduite. Une v.a. est dite uniforme sur un ensemble [a,b] si sa ddp est constante sur [a,b] et nulle en dehors. Coefficient de corrélation entre deux v.a. X et Y : r XY =
E{(X − η X )(Y − η Y )} E{XY} − η X η Y = σ Xσ Y σ Xσ Y

{

}

Densité de probabilité