Vecteurs : Résumé de cours et méthodes 1 Egalité de deux vecteurs
− → − → Dire que les vecteurs AB et CD sont égaux équivaut à dire que ABDC est un parallélogramme.

A C

B

D

2 Relation de Chasles
− − → → − → Pour tous points A, B et C : AB + BC = AC. Applications : • Simplifier des expressions vectorielles : − − → → − → − − → → Quand on remplace AB + BC par AC, on simplifie l’expression AB + BC. Exemple de simplification : → − − → → − → − → − → − → − → − → − − − → → → − AC + 2CB − AB = AC + CB + CB + BA = AB + CA = CA + AB = CB • Décomposer un vecteur : − → − − → → − → Quand on remplace AC par AB + BC , on décompose le vecteur AC en faisant apparaître le point B. − → − → Autre exemple de décomposition : si on veut décomposer le vecteur CM en faisant apparaître le point A, on écrit que CM = − → − → CA + AM.

3 Somme de deux vecteurs
− − Pour construire la somme de deux vecteurs non nuls → et → : u v → partant de l’extrémité de →. − − 1) On trace le représentant de v u − − 2) On joint l’origine de → avec l’extrémité du représentant de → que l’on vient de tracer. On obtient alors un représentant de u v → + →. − − u v

v représentant de v 1

u
2

u+v

4 Multiplication d’un vecteur par un réel
− − Pour tout réel k et pour tout vecteur → non nuls, le vecteur k→ est tel que : u u → et k→ sont de même direction. − − • u u − − − − • Si k > 0, → et k→ sont de même sens et la longueur de k→ est égale à celle de → multipliée par k. u u u u → et k→ sont de sens contraires et la longueur de k→ est égale à celle de → multipliée par (−k). − − − − • Si k < 0, u u u u Exemple :

u 3u −2 u
− − − − Remarque : Pour construire → − →, on effectue la somme de → avec −→. u v u v
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5 Vecteurs et milieu d’un segment
→ 1− − → → → → − − − Dire que I est le mileu de [AB] équivaut à dire que AI = AB ou que IA + IB = 0 . 2

A

I

B

6 Vecteurs colinéaires, alignement, parallélisme
− − − − Deux vecteurs