Alexia

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Vecteurs : Résumé de cours et méthodes 1 Egalité de deux vecteurs
− → − → Dire que les vecteurs AB et CD sont égaux équivaut à dire que ABDC est un parallélogramme.

A C

B

D

2 Relation de Chasles
− − → → − → Pour tous points A, B et C : AB + BC = AC. Applications : • Simplifier des expressions vectorielles : − − → → − → − − → → Quand on remplace AB + BC par AC, on simplifiel’expression AB + BC. Exemple de simplification : → − − → → − → − → − → − → − → − → − − − → → → − AC + 2CB − AB = AC + CB + CB + BA = AB + CA = CA + AB = CB • Décomposer un vecteur : − → − − → → − → Quand on remplace AC par AB + BC , on décompose le vecteur AC en faisant apparaître le point B. − → − → Autre exemple de décomposition : si on veut décomposer le vecteur CM en faisant apparaître le point A, on écritque CM = − → − → CA + AM.

3 Somme de deux vecteurs
− − Pour construire la somme de deux vecteurs non nuls → et → : u v → partant de l’extrémité de →. − − 1) On trace le représentant de v u − − 2) On joint l’origine de → avec l’extrémité du représentant de → que l’on vient de tracer. On obtient alors un représentant de u v → + →. − − u v

v
représentant de v 1

u
2

u+v

4Multiplication d’un vecteur par un réel
− − Pour tout réel k et pour tout vecteur → non nuls, le vecteur k→ est tel que : u u → et k→ sont de même direction. − − • u u − − − − • Si k > 0, → et k→ sont de même sens et la longueur de k→ est égale à celle de → multipliée par k. u u u u → et k→ sont de sens contraires et la longueur de k→ est égale à celle de → multipliée par (−k). − − − − • Si k < 0, u u u uExemple :

u 3u −2 u
− − − − Remarque : Pour construire → − →, on effectue la somme de → avec −→. u v u v
Seconde - Vecteurs
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1

5 Vecteurs et milieu d’un segment
→ 1− − → → → → − − − Dire que I est le mileu de [AB] équivaut à dire que AI = AB ou que IA + IB = 0 . 2

A

I

B

6 Vecteurs colinéaires, alignement, parallélisme
− − − − Deux vecteurs →et → sont dits colinéaires s’il existe un réel k tel que → = k→. u v u v − → − → Dire que les points A, B et C sont alignés équivaut à dire qu’il existe un réel k tel que AC = kAB.

A

B

C

− → − → Dire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles équivaut à dire qu’il existe un réel k tel que CD = kAB.

A B C D

7 Constructions de points définis vectoriellement
− → − • 1er cas : Lepoint M à tracer est défini par une relation vectorielle de la forme AM = →. u → ayant pour origine le point A. L’extrémité de ce vecteur donne le point M. − Méthode : on trace le représentant de u − → − → − → Exemple : Pour placer le point M tel que AM = 2BA, on a tracé le représentant de 2BA partant du point A.

M 2 BA

A

B

• 2ème cas : Le point M à tracer intervient plusieurs fois dansla relation. Méthode : On choisit un point particulier et on décompose tous les vecteurs où ce point n’intervient pas de façon à le faire apparaître (grâce à la relation de Chasles). Ainsi, le point M n’intervient plus qu’une seule fois et on est ramené au 1er cas. − → − → Exemple : Etant donné les points A et C, on cherche à placer le point M tel que AM = 2CM. On choisit A comme point particulier− → de façon à n’avoir plus que ce point avec M. Pour cela, on décompose CM en faisant apparaître le point A. − → − → − → − → − → − → On obtient : AM = 2 CA + AM . D’où, AM = 2CA + 2AM − → On fait passer tous les AM dans un membre et tous les autres vecteurs dans l’autre. − → − → − → On a alors : AM − 2AM = 2CA. − → − → − → − → On en déduit que −AM = 2CA, c’est à dire que AM = 2AC. − → Il suffitalors de tracer le représentant de 2AC partant de A pour obtenir M.

A

C

M

2 AC

8 Utilisation du calcul vectoriel pour montrer que 3 points sont alignés
Méthode générale : Pour montrer que trois points sont alignés, on cherche à prouver que deux vecteurs (ayant un point en commun) sont colinéaires. Pour cela, on exprime ces deux vecteurs en fonction des points de la figure de...
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