Algebre 1

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Notes de cours d’alg`bre lin´aire. e e L1, alg`bre 1. e
Anne Beaulieu Ann´e 2008–2009 e

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Table des mati`res e
1 R´solution des syst`mes lin´aires. e e e 1.1 Exemples ´l´mentaires (` coefficients r´els). . . . . . . . . . . ee a e 1.2 Syst`mes ` n lignes et p colonnes, syst`mes ´chelonn´s. . . . . e a e e e 1.3 R´solution des syst`mes ´chelonn´s. . . . . . . . . . . . . . . e e e e 1.4Algorithme du pivot de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Principes ` retenir, pour la r´solution des syst`mes lin´aires. a e e e 1.6 Structure de l’ensemble des solutions d’un syst`me lin´aire. . e e 2 Espaces vectoriels sur R ou C. 2.1 Rappel : les vecteurs du plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Espaces vectoriels sur R ou C. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Sous-espacesvectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Intersection de sous-espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . 2.5 Somme d’un nombre fini de sous-espaces vectoriels. . . . . . 2.6 Somme directe de deux sous-espaces vectoriels. . . . . . . . 2.7 Sous-espace vectoriel engendr´ par une famille de vecteurs. e 2.8 D´pendance et ind´pendance lin´aire. . . . . . . . . . . . . e e e 2.9 Bases. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 8 9 11 12 15 15 16 18 19 20 21 22 24 25 27 27 27 28 29 31 31 31 33 35 35 37 37 38 38 40

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3 Espaces vectoriels sur R ou C de dimension finie. 3.1 D´finition d’un espace vectoriel de dimension finie. Exemple d’un espace vectoriel e de dimension infinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Th´or`me de la base incompl`te. Existence des bases. . . . . . . . . . . . . . . . e e e 3.3 Notion de dimension d’un espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Sous-espaces vectoriels en dimension finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Rang d’une famille de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Sous-espaces vectoriels de Kp .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Passage d’une partie g´n´ratrice ` une base ; calcul du rang. . . . . . . . . e e a 3.6.2 Passage d’une base ` un syst`me d’´quations cart´siennes. . . . . . . . . . a e e e 4 Applications lin´aires. e 4.1 D´finitions et exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.2 Image et noyau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 4.3 Application lin´aire injective. . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.4 Cas o` l’espace vectoriel de d´part est de dimension finie, u e g´n´ratrice. Rang d’une application lin´aire. . . . . . . . . . e e e 4.5 Isomorphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Exemples : projections vectorielles, sym´tries vectorielles. . e 3

. . . . . . . . . . . . image . . . . . .. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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` TABLE DES MATIERES Matrices 5.1 Matrices. R`gles de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.2 Matrice d’une application lin´aire dans des bases. . . . . . . . . . . . e p dans Kn associ´e canoniquement 5.3 Application lin´aire de K e e a `une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Calcul des coordonn´es de l’image d’un vecteur de E. . . . . . . . . e 5.5 Op´rations lin´aires sur les applications lin´aires et les matrices. . . e e e 5.6 Composition des applications lin´aires et multiplication des matrices. e 5.7 Matrices carr´es inversibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.8...
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