Définition:
Un ensemble B (non vide) munis de 2 lois de compositions internes (notées + et X), d’une opération unaire (notée a  ä) et possédant 2 éléments privilégiés (botés 0 et 1), a une structure d’algebre de boole si et seulemnt si les propriétés suivantes sont vraies :

Quelque soit a E B, quelque soit b E B et quelque soit c E B - a + b = b + a commutativité de l’addition booléene C+

- a X b = b X a commutativité de la multiplication CX

- a + bc = (a + b)X(a + c) distributivité de l’addition et la multiplication d+/X

- a(b+c) = (ab)+(ac) distributivité de la multiplication et l’addition dX/+

- a + 0 = a élément neutre de l’addition n+

- a X 1 = a élément neutre de la multiplication nX

- a + ä = 1 complement pour l’addition b+

- a X ä = 0 complement pour la multiplication bX + est considérer comme OU
X est considérer comme ET

Table de l’addition booléenne : OU

+
0
1
0
0
0
1
1
1

Table de la multiplication : ET

X
0
1
0
0
0
1
0
1

Remarque :
En permuttant d’une part l’addition et la multiplication et d’autre part 0 et 1 on obtient un résultat dual.
L’opération unaire à priorité sur la multiplication qui à elle même priorité sur l’addition.

Proprietes :
Idempotence : a + a = a a . a = a
Il n’y pas de coeficient ni de puissance.

Demostration : a = a + 0 = a + aä = (a + a).(a + ä) comme (a + ä) = 1 alors (a + a).1 donc = a + a a = a X 1 = a Xa+ä = (a + a).(a + ä)

Proprietes des Unités et des Eléments:
 a E B a + 1 = 1 a . 0 = 0
Absorbtion :
 a E B et b E B a + ab = a car P v (p^q)  p a . (a+b) = a

Associativité :
 a E B, b EB, c E B a + (b + c) = (a + b) + c a . (b . c) = (a . b) . c

Compléments :
 a E B, il existe un élément unique x de B tel que a + x = 1 a X x = 0 c’est x = ä Loi de Morgan : ___ _ _
 a E B a+b = a . b ____ __ __