Jean-Marie Monier

ALGÈBRE
ET GÉOMÉTRIE
PC-PSI-PT
៑ Un cours conforme au programme
៑ Des exercices-types résolus
៑ Les méthodes à retenir
៑ De nombreux exercices et problèmes

corrigés

5e édition

ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE
PC-PSI-PT
Cours, méthodes et exercices corrigés

Jean-Marie Monier
Professeur en classe de Spéciales au lycée La Martinière-Monplaisir à Lyon

5e édition

Maquette intérieure : Lasertex
Couverture : Bruno Loste

© Dunod, Paris, 2008
© Dunod, Paris, 1996 pour la première édition
ISBN 978-2-10-053970-3

Table des matières

Cours
CHAPITRE 1
1.1

1.2

Compléments d’algèbre linéaire

3

Espaces vectoriels

4

1.1.1
1.1.2

4
4

Applications linéaires
1.2.1
1.2.2
1.2.3

1.3

1.4

CHAPITRE 2

© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.

2.1

2.2

2.3

Familles libres, familles liées, familles génératrices
Sommes, sommes directes

Théorème d’isomorphisme
Interpolation de Lagrange
Théorème du rang

9
9
10
11

Dualité

13

1.3.1
1.3.2
1.3.3

Généralités
Hyperplans
Bases duales

13
14
16

Calcul matriciel

22

1.4.1
1.4.2

Trace
Blocs

22
27

Déterminants

35

Le groupe symétrique

36

2.1.1
2.1.2
2.1.3

36
36
39

Structure de Sn
Transpositions
Cycles

Applications multilinéaires

41

2.2.1
2.2.2

41
41

Généralités
Applications multilinéaires alternées

Déterminant d'une famille de n vecteurs dans une base d'un ev de dimension n
2.3.1
2.3.2

Espace n (E)
Propriétés

43
43
44

2.4

Déterminant d'un endomorphisme

45

2.5

Déterminant d'une matrice carrée

46
III

Table des matières

2.6

2.7

2.8
2.9

Développement par rapport à une rangée

49

2.6.1
2.6.2

49
53

Cofacteurs et mineurs
Comatrice

Calcul des déterminants

55

2.7.1
2.7.2
2.7.3
2.7.4
2.7.5

55
55
58
59
60

Déterminant d'une matrice triangulaire
Manipulation de lignes et de colonnes
Cas n = 2, n = 3
Déterminant de Vandermonde
Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs

Orientation d'un espace vectoriel réel de dimension finie

64

Supplément : Rang et sous-matrices

65

2.10