Algebre Lineaire Complements

975 mots 4 pages
COURS MPSI

A 8 C. ALG. LINÉAIRE : COMPLÉMENTS R. FERRÉOL 13/14

C) COMPLÉMENTS D’ALGEBRE LINEAIRE
I) PROJECTEURS ET INVOLUTIONS.
1) Projecteurs.
DEF : un projecteur d’un espace vectoriel E est un endomorphisme dont le carré est égal à lui-même : p projecteur de E ⇔

p ∈ L (E) p2 (= p ◦ p) = p

Les projections vectorielles définies précédemment sont évidemment des projecteurs ; mais la réciproque est vraie :
PROP : Tout projecteur p de l’espace vectoriel E est une projection de base Im p = ker (p − idE ) et de direction ker p = Im (p − idE ) .
D1
Les mots ”projecteur” ou ”projection (vectorielle)” peuvent donc être employés de manière équivalente.
2) Involutions linéaires.
DEF : une application d’un ensemble E dans lui-même est dite involutive si son carré est égal à l’application identité ; une application involutive est apelée une involution : s involution de E ⇔

s ∈ EE s2 = idE

Les symétries vectorielles définies précédemment sont évidemment des involutions linéaires (ou, ce qui revient au même, des endomorphismes involutifs) ; mais la réciproque est vraie :
PROP : Tout involution linéaire s de l’espace vectoriel E est une symétrie de base ker (s − idE ) = Im (s + idE ) (ensemble des vecteurs invariants) et de direction ker (s + idE ) = Im (s − idE ) (ensemble des vecteurs anti-invariants).
D2
Les mots ”symétrie (vectorielle)” ou ”involution linéaire” peuvent donc être employés de manière équivalente (mais le premier est plus court !).
REM : les projecteurs et les symétries sont reliés par les relations :
1
(s + idE ) projecteur
2
p projecteur ⇔ 2p − idE symétrie s symétrie ⇔

D3
Exemples à bien connaître :
- l’application S de K K dans lui-même qui à f fait correspondre S (f) définie sur I par (S (f )) (x) = f (−x) est une symétrie de base l’espace des fonctions ............ et de direction l’espace des fonctions ...........
- l’application T de Mn (K) dans lui-même qui à toute matrice fait correspondre sa transposée est une symétrie de base l’espace des

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