Algebre lineaire

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HEM 1ère année, 1er semestre, Année universitaire : 2010/2011
MATHEMATIQUES ECONOMIQUES I
ALGEBRE LINEAIRE
Fiche synthèse n°1
Matrices - Opérations

* Nous rencontrons le calcul matriciel et les systèmes linéaires dans différentes disciplines : gestion, économie, recherche opérationnelle, statistique, programmation, optimisation, informatique,logistique, modélisation de situations économiques réelles etc.…
* Une matrice peut être définie comme étant un tableau contenant n lignes et p colonnes.
On repère généralement un élément d’une matrice par deux nombres donnés dans cet ordre : le premier désigne le numéro de la ligne et le deuxième désigne le numéro de la colonne : A=()
par exemple, dans la matrice A à 3 lignes et 4 colonnessuivante :
, on a :
Application directe :
Donner explicitement la matrice A(4,4) définie par la relation : pour tout i et pour tout j : on a

A=

* L’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes est noté M(n,p).
* Si n=p, la matrice est dite carrée, n est alors l’ordre ou la dimension de la matrice. L’ensemble des matrices carrées d’ordre n est noté M(n).
* Egalité de deuxmatrices : Deux matrices de M(n,p) sont égales si pour tout i et pour tout j on a : . On ne parlera donc d’égalité de 2 matrices que lorsque celles-ci sont de même taille (même nombre de lignes et même nombre de colonnes)
* Somme de deux matrices : la somme de deux matrices de M(n,p) est une matrice de M(n,p) telle que : On ne parlera donc de somme de 2 matrices que lorsque celles-ci sont demême taille (même nombre de lignes et même nombre de colonnes)
* La matrice nulle est la matrice à n lignes et p colonnes ne contenant que des 0. On la note 0. Nous avons évidemment A+0=0+A=A
* Multiplication d’une matrice par un nombre :
A étant une matrice de M(n,p) et k un nombre réel, le produit k.A est une matrice de M(n,p) obtenue en multipliant tous les termes de la matrice A par cenombre k.
* Transposée d’une matrice :
Soit A une matrice de M(n,p), on appellera transposée de A et on la notera
la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes. La matrice obtenue est donc à p lignes et n colonnes. Exemple :

Plus généralement : pour tout i et pour tout j.
remarque :
Propriétés de la transposition de matrices :

* Produit de 2 matrices :
On neparlera de produit de 2 matrices A et B que lorsque le nombre de colonnes de la 1ère matrice A est égal au nombre de lignes de la 2ème matrice. On mémorisera la formule : A(n,p) x B(p,m)=AB(n,m).

a) produit d’une matrice ligne et d’une matrice colonne : Soit une matrice ligne
A (1,p)= et B une matrice colonne B(p,1) :
Le produit d’une matrice ligne par une matrice colonne a un sens puisqueA(1,p)xB(p,1) existe. C’est le nombre :

b) Calcul du produit : A(n,p) x B(p,m)

Le terme de la matrice produit AxB et qui se trouve à la i ème ligne et à la j ème colonne de AxB est le résultat du produit de la i ème ligne de A et de la j ème colonne de B :
Effectuons par exemple le produit matriciel :
 
* Matrices carrées : La matrice A sera dite carrée si le nombrede lignes coïncide avec le nombre de colonnes. On dit qu’elle est d’ordre n si n est le nombre de ses lignes (et de ses colonnes)
* On appellera puissance nième de la matrice carrée et on la notera la matrice carrée :
* Diagonale principale d’une matrice carrée d’ordre n : c’est la diagonale reliant le premier terme au dernier terme de la matrice carrée d’ordre n.
* On appelleratrace de la matrice carrée d’ordre n la somme de tous les termes se trouvant sur la diagonale principale, autrement dit :

* On appelle matrice unité (d’ordre n) et on la notera la matrice carrée d’ordre n n’ayant que des 1 sur sa diagonale principale et des zéros partout ailleurs. On a pour toute matrice A d’ordre n :
Par exemple :
* Propriétés de la somme et du...
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