Algebre

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Cours Algébre Linéaire : Espaces Vectoriels réels Matrices Applications Linéaires Systèmes Linéaires
Université Cheikh Anta Diop de Dakar Faculté des Sciences Economiques et de Gestion Première Année
Babacar M. NDIAYE. Année 2010-2011. LMDAN, babacarm.ndiaye@ucad.edu.sn http ://lmdan.ucad.sn

Notes
Ces notes de cours correspondent à un enseignement de première année de la FASEG. Ceci neconstitue qu’une première version et les chapitres manquants seront complétées au fur et à mesure qu’on avancera au cours de l’année. Ce cours est le résultat d’une réflexion technique pédagogique dont j’espère qu’il apportera aux étudiants une stimulation intellectuelle et un encouragement à persévérer, chaque fois que la compréhension d’un phénomène économique leur posera des difficultés. Bien qu’ayantrelu attentivement toutes les notes, il reste plusieurs imperfections. Je 1

demande aux étudiants de m’en excuser, et de me les signaler afin d’en améliorer la qualité. Leurs camarades de l’année prochaine leur en seront reconnaissants.

Table des matières
1 ESPACES VECTORIELS SUR R 1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.2 1.2 Définitiond’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 3 5 6 6 9

Sous-Espaces Vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 1.2.2 1.2.3 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Somme et Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Sous-espace vectoriel engendré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3

Base et Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 Combinaisons linéaires et familles liées . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Combinaisons linéaires et familles libres, systèmes génératrices . . . 14 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 16 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1

ESPACES VECTORIELS SUR R
L’utilisation d’espaces vectoriels reste un cadre théorique pour de nombreux modèles

économiques et de gestion. Dans les applications économiques, les espaces ont souvent une dimension supérieure à2. La répartition des parts de marché entre différentes marques pour un produit donné, les résultats possibles d’un tirage au hasard dans une population, les valeurs possibles d’un prix du baril dans un an peuvent être représentés par des vecteurs caractérisés par un nombre de coordonnées supérieur à deux. Il en est de même pour l’ensemble des notes obtenues par un étudiant à la fin d’un semestre oupar les notes de mille étudiants de

2

première année dans une matière donnée. Dans la section 1.1 nous présentons la définition formelle d’un espace vectoriel ainsi que les propriétés élémentaires de ces structures. Nous restreignons le cours aux espaces dont les vecteurs ont un nombre fini de coordonnées.

1.1

Généralités

Dans tout ce qui suit : K = R, muni des lois + et .naturelles. 1.1.1 Définition d’un espace vectoriel

Définition 1.1. On appelle K-espace vectoriel ou espace vectoriel sur K, tout ensemble E, dont les éléments sont appelés vecteurs, muni d’une loi de composition interne (appelée addition et notée « + » ) et d’une loi de composition externe (appelée multiplicateur par un scalaire et notée « . ») vérifiant : 1. L’addition est une loi de composition internesur E : ∀(u, v) ∈ E2 , u + v existe et : u + v ∈ E. 2. L’addition est associative, c’est à dire : ∀(u, v, w) ∈ E3 , (u + v) + w = u + (v + w) = u + v + w

3. Il existe dans E un vecteur appelé élément neutre de l’addition, et noté « 0 », tel que pour tout vecteur u ∈ E, on a : u+0=0+u=u 4. Tout vecteur u de E possède un symétrique appelé opposé de u, c’est à dire : ∀u ∈ E, ∃v ∈ E tel que u + v...
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