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  • Publié le : 1 février 2014
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Espace vectoriel
En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.
Étant donné un corpsK, un espace vectoriel E sur K est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) muni d'une action « compatible » de K (au sens de la définition ci-dessous). Les éléments de E sont appelés des vecteurs, et les éléments de K desscalaires.
Définitions
Soit K un corps1,2, comme le corps commutatifQ des rationnels, celui, R, des réels3 ou celui, C, des complexes (on parlera dans ces cas d'espace vectoriel rationnel, réel ou complexe).
Un espace vectoriel sur K, ou K-espace vectoriel, est un ensemble E, dont les éléments sont appelés vecteurs, muni de deux lois :
• une loi interne « + » : E2 → E, appelée addition ou sommevectorielle,
• une loi de composition externe à gauche « • » : K × E → E, appelée multiplication par un scalaire,
Telles que les propriétés suivantes soient vérifiées.
1. (E,+) est un groupe abélien, autrement dit :
• la loi « + » est commutativeN 1 et associative,
• elle admet un élément neutre, pouvant être noté 0 ou 0E, appelé vecteur nul et
• tout vecteur v a un opposé, noté –v,c'est-à-dire que pour tous vecteurs u, v et w de E :
u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w
0E + v = v u + (–u) = 0E
2. La loi « • » vérifie les propriétés suivantes :
• elle est distributive à gauche par rapport à la loi « + » de E et à droite par rapport à l'addition du corps K,
• elle vérifie une associativité mixte (par rapport à la multiplication dans K),
• l'élément neutre multiplicatif ducorps K, noté 1, est neutre à gauche pour •N 2,
c'est-à-dire que pour tous vecteurs u, v de E et tous scalaires λ, μ :
λ•(u + v) = (λ•u) + (λ•v) (λ + µ)•u = (λ• u) + (µ • u)
(λμ)•u = λ•(µ•u) 1•u = u
De l'axiome 1, il découle que E est nécessairement non vide. Les axiomes 1 et 2 impliquent que 0E est « absorbant à droite » pour la loi • (i.e. le produit de 0E par un scalaire quelconque vaut 0E)et que le produit d'un vecteur quelconque de E par le scalaire 0K (l'élément neutre additif du corps K) vaut aussi 0E. Enfin, –v (l'opposé de v) est le produit de v par le scalaire –1, ce qui résulte de la propriété précédente et de l'axiome 2. On a donc pour tout vecteur u de E et tout scalaire λ4 :
0K•u = 0E λ•0E = 0E (–1)•u = –u
Les vecteurs (éléments de E) ont été ici écrits avec deslettres latines italiques, mais certains auteurs les notent par des lettres en gras, ou les surmontent d'une flèche.
Sous-espace vectoriel
Article détaillé : Sous-espace vectoriel.

Deux plans vectoriels de l'espace R3 en jaune et en vert, qui s'intersectent selon une droite vectorielle en bleu.
Un sous-espace vectoriel de E est une partie non videF de E stable par combinaisons linéaires. Muni deslois induites, F est alors un espace vectoriel. L'intersection d'une famille non vide (finie ou infinie) de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel mais l'union, même finie, n'en est pas un en général.















Espace vectoriel
En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisonslinéaires.
Étant donné un corpsK, un espace vectoriel E sur K est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) muni d'une action « compatible » de K (au sens de la définition ci-dessous). Les éléments de E sont appelés des vecteurs, et les éléments de K des scalaires.
Définitions
Soit K un corps1,2, comme le corps commutatifQ des rationnels, celui, R, des réels3 ou celui, C, des complexes (onparlera dans ces cas d'espace vectoriel rationnel, réel ou complexe).
Un espace vectoriel sur K, ou K-espace vectoriel, est un ensemble E, dont les éléments sont appelés vecteurs, muni de deux lois :
• une loi interne « + » : E2 → E, appelée addition ou somme vectorielle,
• une loi de composition externe à gauche « • » : K × E → E, appelée multiplication par un scalaire,
Telles que les...