Algebre

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 25 (6238 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 27 mars 2014
Lire le document complet
Aperçu du document
POLYNOMES
EQUATIONS
ALGEBRIQUES

Cours

39
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES

I. DEFINITIONS
1. Monôme
2. Polynôme
3. Equation algébrique
4. Zéro d’un polynôme
II. OPERATIONS SUR LES POLYNOMES
1. Identité de deux polynômes
2. Addition de deux polynômes
3. Multiplication de deux polynômes
4. Multiplication d'un polynôme par un scalaire
5. Division de deux polynômes suivant lespuissances décroissantes
(Euclidienne)
6. Division Euclidienne par un polynôme de degré 1
7. Division de deux polynômes suivant les puissances croissantes (division
non Euclidienne)
III. FACTORISATION D'UN POLYNOME
1. Définition
2. Factorisation dans C
3. Factorisation dans R
4. Utilisation de la décomposition d'un polynôme
IV. COMPLEMENT : RESOLUTION D'UNE EQUATION DU 3ème DEGRE ACOEFFICIENTS REELS
1. Forme générale
2. Nombre de racines réelles

40
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES

I. DEFINITIONS
1. Monôme
Un monôme est une expression de la forme aiz i dans laquelle :
- i est un entier positif ou nul, appelé degré du monôme,
- z est la variable, réelle ou complexe,
- ai est un coefficient réel ou complexe.
Exemples :

2z 3 , 5z 6 ,

3
5
z, z4
2
4

2.Polynôme
Un polynôme de degré p est une somme algébrique de monômes qui peut être
ordonnée suivant les puissances croissantes ou décroissantes :

ou

P(z ) = a0 + a1z + a2 z 2 + a3z 3 + ... + ai z i + ... + ap−2 z p −2 + ap −1z p−1 + apz p
P(z ) = ap z p + ap −1z p −1 + ap −2 z p −2 + ... + ai z i + ... + a3 z 3 + a2 z 2 + a1z + a0

Le degré d’un polynôme est égal au degré du monôme leplus élevé.
Exemples :

Suivant les puissances croissantes:
Suivant les puissances décroissantes:

z + z 6 + 3z 8 : degré = 8
2z 4 + 3z 2 + 5z + 1 : degré = 4
p

Dans les deux cas on écrira un polynôme sous la forme générale : P(z ) = ∑ aiz i
i =0

Remarques :

● L'indice i repère également le degré de chacun des monômes qui
forment le polynôme.
● Un polynôme de degré 0 est unscalaire puisque z0 = 1 alors
a0z0 = a0.

3. Equation algébrique
On appelle équation algébrique une expression de la forme P(z) = 0 dans laquelle
P(z) est un polynôme comme défini précédemment dont la variable, z, et les
coefficients, ai , sont réels ou complexes.
Exemples:

z + z 6 + 3z 8 = 0
2z 4 + 3z 2 + 5z + 1 = 0

4. Zéro d’un polynôme
Toute valeur de z qui annule le polynôme P(z ) estappelée racine de l'équation
P(z ) = 0 ou zéro du polynôme P(z ) .

41
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES

Théorème de D'Alembert :

Toute équation algébrique de degré p admet
au moins une racine réelle ou complexe.

II. OPERATIONS SUR LES POLYNOMES
1. Identité de deux polynômes
a) Polynôme identiquement nul
Un polynôme est identiquement nul lorsqu'il prend la valeur P(z) = 0 quelleque soit
la variable z. On ne lui attribue pas de degré.
Tous les coefficients ai de ce polynôme sont nuls.
b) Polynômes identiques
p

q

i =0

i= 0

On dit que deux polynômes P(z ) = ∑ aiz i et Q(z) = ∑ biz i sont identiques si ai = bi
quel que soit l'indice i considéré.
Il en résulte que P(z) et Q(z) ont même degré (p = q).

2. Addition de deux polynômes
p

q

i =0

i =0Soient deux polynômes P(z) = ∑ a i z i et Q(z) = ∑ b i z i .
s

On appelle polynôme somme, le polynôme :

0 ≤ i ≤ p pour P(z)
0 ≤ i ≤ q pour Q(z)

i =0

ci = ai + bi

dont les coefficients ci sont tels que:
Puisque :

S(z) = P(z) + Q(z) = ∑ c i z i

Alors pour S(z) :

degré[S(z)] = s = max(p,q)

Le degré du polynôme somme est inférieur ou égal au plus grand des degrés.Exemple:

3

2

P(z) = 2z + 4z − 8z + 6
Q(z) =

2

5z + 2z − 3

S(z) = 2z 3 + 9z 2 − 6z + 3

3. Multiplication de deux polynômes
p

q

i =0

i =0

Soient deux polynômes P(z) = ∑ a i z i et Q(z) = ∑ b i z i .
r= p+ q

On appelle polynôme produit, le polynôme :

Π (z ) = P(z ).Q(z) =



k =0

dont les coefficients ck sont d'une manière générale tels que : ck =...