Algebre

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Lois de composition internes

1-)

On définit dans I la loi ∗ par: a ∗ b = a + b + ab.
R
a-)
Justifier que ∗ est bien une loi de composition interne dans I
R.
b-)
Montrer que cette loi est commutative. Est-elle associative ?
c-)
Montrer que ∗ admet un élément neutre.
d-)
Quels sont les éléments inversibles par rapport à cette loi ?
e-)
Quels sont les éléments réguliers ?
f-)Montrer que I + est stable par ∗. En est-il de même de I – ? de I * ? de Z ?
R
R
R
Z
––––––––––––––––

a-)

On veut montrer que: ∀(a, b)∈IR2, a ∗ b∈IR.
Or l'addition et la multiplication sont des LCI dans IR.
Par suite, a ∗ b = (a + b) + ab∈IR.

b-)



∀(a, b)∈IR2, b ∗ a = b + a + ba = a + b + ab = a ∗ b.
Donc ∗ est commutative.



∀(a, b, c)∈IR3, (a ∗ b) ∗ c = (a + b + ab) ∗c = a + b + ab + c + (a + b + ab)c
(a ∗ b) ∗ c = a + b + ab + c + ac + bc + abc
(a ∗ b) ∗ c = a + b + c + ab + bc + ca + abc
a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (b + c + bc) = a + b + c + bc + a(b + c + bc)
a ∗ (b ∗ c) = a + b + c + bc + ab + ac + abc
a ∗ (b ∗ c) = a + b + c + ab + bc + ca + abc
Donc ∗ est associative.
et

c-)

On cherche s'il existe e dans IR tel que: ∀x∈IR, x ∗ e = x (E1).
(On saitque, dans ce cas, on aura e ∗ x = x car la loi est commutative).
(E1) est une équation d'inconnue e.
(E1) ⇔ ∀x∈IR, x + e + ex = x.
(E1) ⇔ ∀x∈IR, e(1 + x) = 0.
(E1) ⇔ ∀x∈IR, e = 0.
La loi ∗ admet donc 0 comme élément neutre.

d-)

x∈IR est inversible par rapport à la loi ∗ ssi il existe x'∈IR tel que: x ∗ x' = 0 (E2).
(On sait que, dans ce cas, on aura x' ∗ x = 0 car la loi estcommutative).
(E2) est une équation d'inconnue x'.
La loi ∗ étant associative, on sait que cette équation admet au plus une solution.
(E2) ⇔ x + x' + xx' = 0.
(E2) ⇔ x'(1 + x) = -x.
-x

Si x est différent de -1, alors (E2) ⇔ x' =
.
1+x

Si x = -1 alors (E2) est impossible.
-x
Donc tous les réels sauf -1 sont inversibles et si x ≠ -1 alors x' =
.
1+x

e-)




La loi étant associative,tous les éléments inversibles sont réguliers.
-1 ∗ 2 = -1 + 2 – 2 = -1 et -1 ∗ 3 = -1 + 3 – 3 = -1
On a donc: -1 ∗ 2 = -1 ∗ 3.
Par suite -1 n'est pas régulier.
Tous les réels sauf -1 sont réguliers pour la loi ∗.

Corrigés des exercices sur les lois de composition internes --*-- Page 1

f-)






a + b ∈ IR+
donc a ∗ b = a + b + ab ∈ IR+
ab ∈ IR+
Par suite, IR+ est stablepar ∗.
(-2) ∗ (-3) = -2 – 3 + 6 = +1
Donc IR– n'est pas stable par ∗.
1
1 1
1 ∗ -  = 1 – – = 0.
 2
2 2
 
*
Donc IR n'est pas stable par ∗.
a+b∈Z
Z
∀(a, b)∈(Z 2,  ab ∈ Z
Z)
donc a ∗ b = a + b + ab ∈ Z
Z
Z

Par suite, Z est stable par ∗.
Z
∀(a, b)∈(IR+)2,







Corrigés des exercices sur les lois de composition internes --*-- Page 2

2-)





a∗ b = a + 2b
a ⊥ b = 2ab
Etudier les propriétés de ces deux lois.
Y en a-t-il une qui soit distributive par rapport à l'autre ?

On définit dans I deux lois ∗ et ⊥ par:
N
a-)
b-)

––––––––––––––––






Les deux lois sont des LCI dans IN car ∀(a, b)∈IN2,





n'est pas associative car





n'admet pas d'élément neutre car:
• ∀a∈IN, a ∗ e = a ⇔ ∀a∈IN, a + 2e = a(Si ∗ admet un neutre ce ne peut être que 0).
• Or 0 ∗ 1 = 2 ≠ 1.
(0 est neutre à droite mais pas à gauche).

a + 2b∈IN
2ab∈IN





a-)

n'est pas commutative car 1 ∗ 2 = 5 et 2 ∗ 1 = 4.
⊥ est commutative car ∀(a, b)∈IN2, b ⊥ a = 2ba = 2ab = a ⊥ b.






(1 ∗ 2) ∗ 3 = 5 ∗ 3 = 11
1 ∗ (2 ∗ 3) = 1 ∗ 8 = 17
 (a ⊥ b) ⊥ c = (2ab) ⊥ c = 4abc
⊥ est associative car ∀(a, b,c)∈IN3,  a ⊥ (b ⊥ c) = a ⊥ (2bc) = 4abc

⇔ e = 0.

⊥ n'admet pas de neutre pour la loi ⊥ car a ∗ e = a exigerait a =

1 1
et ∉IN.
2 2




b-)

On ne peut pas parler d'inverse pour ces lois car elles n'admettent pas de neutre.
Tout naturel est régulier pour ∗ car:




x ∗ b = x ∗ c ⇔ x + 2b = x + 2c ⇔ b = c
b ∗ x = c ∗ x ⇔ b + 2x = c + 2x ⇔ b = c
Tout naturel sauf 0...
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