Détermination d’une valeur approchée de la racine carrée d’un nombre
Stéphane Clément
IREM Aix Marseille

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Algorithme de Héron

La calcul de valeurs approchées de nombres irrationnels est un type de problème qui peut être une raison d’être à de nombreux contenus mathématiques, de la classe de première S en particulier. Ce qui est présenté ci-dessous a été testé en classe ; la programmation par les élèves a été faite avec l’environnement Scilab.

1.1

Le principe mathématique

Pour les mathématiques actuelles, rechercher la racine carrée d’un nombre A revient à résoudre l’équation x2 ✁ A ✏ 0.
Chez les mathématiciens grecs, extraire la racine carré de A c’est trouver un carré dont l’aire est A. En prenant un rectangle de côté arbitraire a0 et de même aire, il est nécessaire que la longueur de l’autre côté soit aAo . Mais ce rectangle n’est pas carré (en général). Pour le rendre
"plus carré", il suffit de prendre un rectangle dont la longueur est la moyenne arithmétique des deux côtés précédents soit ao aAo
2
et dont l’aire reste A. En itérant indéfiniment le processus, on transforme petit à petit le rectangle en carré de même aire.
Dans la suite, on va supposer que A → 1. Si la racine carré cherchée et inférieure à 1, on pourra toujours se ramener à A → 1 .
La figure suivante, réalisée avec le logiciel GeoGebra et suivie de son protocole❄de construction, illustre cette technique pour la détermination d’une valeur approchée de A ✏ 2.

1

1.2

Exemple à la main : approximations successives de racine de 2

Partons d’un rectangle de côtés de longueurs 1 et 2 et utilisons la technique.
1 2
3
Première itération : prenons la demi-somme pour l’un des côtés
✏
. Pour que l’aire du
2
2
2
4 rectangle soit 2, nécessairement la longueur du deuxième côté est 3 ✏ .
3
2
3
4 17
Deuxième itération : la demi-somme est 2 3 ✏ et la mesure du deuxième côté est :
2
12
2
24
17 ✏
17
12
Ainsi de suite, on obtient successivement les valeurs rangées dans la tableau suivant :

2

Rang de