L'algorithme d'Euclide est une méthode pour trouver pratiquement le PGCD de deux nombres sans avoir besoin de faire leur décomposition en facteurs premiers. Il est basé sur la propriété suivante :
Si a et b sont deux entiers avec par exemple a>=b, si r est le reste de a par b, alors le pgcd de a et b vaut le pgcd de b et r.
On fait donc des divisions euclidiennes, jusqu'à ce qu'on trouve un reste nul. Le dernier reste non nul est le pgcd de a et b.
Ex : On souhaite calculer le pgcd de 255 et 141.
255=1×141+114
141=1×114+27
114=4×27+6
27=4×6+3
6=2×3+0
Le pgcd de 255 et 141 est donc 3. L'algorithme d'Euclide permet aussi de calculer les coefficients de Bezout de a et b (on l'appelle algorithme d'Euclide étendu). Rappelons que si d est le PGCD de a et b, il existe des entiers u et v tels que au+bv=d. L'algorithme d'Euclide permet de calculer une valeur possible pour ces entiers u et v. Il suffit pour cela de remonter les calculs, en exprimant le pgcd d en fonction des autres nombres, d'abord dans la dernière équation, puis dans la précédente, et ainsi de suite...
Ex : Pour 255 et 141, on élimine tout ce qui n'est pas 255 et 141.
27=4×6+3
114=4×27+6 ×(-4) (on élimine les 6).
141=1×114+27 ×17 (on élimine les 27, il y en a 1 à gauche, et -16 à droite).
255=1×141+114 ×(-21) (on élimine les 114).
On somme tout, on regroupe, et on trouve :
38×141-21×255=3
L'algorithme d'Euclide permet donc en particulier de calculer les inverses dans les anneaux d'entiers modulaires Z/nZ.

La géométrie dans le plan vue par Euclide repose sur les 5 axiomes (aussi appelés postulats) suivants :
1. il existe toujours une droite qui passe par deux points du plan.
2. tout segment peut être étendu suivant sa direction en une droite (infinie).
3. à partir d'un segment, il existe un cercle dont le centre est un des points du segment et dont le rayon est la longueur du segment.
4. tous les angles droits sont égaux entre eux.
5. étant donné un point