Algèbre de Boole
Eric Cariou
Université de Pau et des Pays de l'Adour Département Informatique
Eric.Cariou@univ-pau.fr
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Algèbre de Boole
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Système algébrique constitué de l'ensemble { 0, 1 }
Variable booléenne : variable qui prend une valeur 0 ou 1

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Trois opérateurs de base
NON / NOT ( a )
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Inverse/complémente la valeur de la variable a Retourne 1 si a et b sont à 1, sinon retourne 0 Retourne 1 si a ou b est à 1, sinon retourne 0

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ET / AND ( a.b ou ab )
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OU / OR ( a + b )
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Origine
Mathématicien anglais Georges Boole, 1815 – 1864
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Propriétés de base
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Involution Idempotence Complémentarité Éléments neutres Absorbants

: : :

a=a a.a=a aa=1 a. a=0

: aa=a

a=a.1=1.a=a a0=0a=a a.0=0

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: a1=1

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Propriétés de base
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Associativité Distributivité

: a.b.c=a.b.c abc=abc : a.bc=a.ba.c ab.c=ab.ac

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Règles de De Morgan : ab=a. b a.b=ab Optimisations : aa b=ab abc=abac
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Fonction logique
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Fonction logique
Prend en entrée une ou plusieurs variables booléennes Retourne une valeur booléenne fonction des variables d'entrée

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Définition d'une fonction logique : deux méthodes
Par son expression logique
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Combinaison des variables de la fonction via les opérateurs de base de l'algébre de boole Exemple : fonction f de trois variables a, b et c

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fa , b,c=abb cac
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Par sa table de vérité
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Table qui définit la valeur de la fonction pour chaque combinaison 5 de valeurs possibles en entrée

Tables de vérité
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Table de vérité pour une fonction à p variables
Pour chacune des combinaisons différentes de p valeurs, préciser le résultat de la fonction

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Table de vérité des opérateurs de base

_ a | a a b | a + b a b | a.b ­­­+­­­ ­­­­­­+­­­­­­ ­­­­­­+­­­­­­ 0 | 1 0 0 | 0 0 0 | 0 1 | 0 0 1 | 1 0 1 |