Algèbre linéaire

Sommes-nous dans la matrice ?
Aller voir Matrix.

Qu’est ce qu’un problème linéaire ?
Demandons en premier lieu qu’est ce qu’un problème ?

Soient E et S deux ensembles. L’ensemble E est l’ensemble des entrées ( ou des données) et S l’ensemble des sorties. Un problème P est un élément du sous-ensemble

Ensuite, quand ce problème est-il linéaire ?
Quand il existe une relation linéaire entre les entrées et le sorties.
Illustration : la linéarisation d’un problème linéaire ( cf tangente).

Pb : résoudre un système linéaire, dériver un polynôme, commander un bras articule, calculer les itérés d’une fraction rationnelle, résoudre une équation aux différences, calculer un équilibre dans un jeu a deux joueurs…

Pb1. Résoudre un système linéaire

Résoudre un tel système c’est exprimer c et y en fonction des coefficients ( résolution exacte) et le cas échéant en donner des valeurs approchées.

Le système S peut être représentée matriciellement :

ce qui signifie que l’on regroupe les coefficients devant les variables dans un tableau appelé la matrice des coefficients et notée A et que l ‘on dispose les coefficients des seconds membres dans un vecteur colonne b. Les variables x et y sont placées dans le vecteur colonne X.

Ici, (X1) et le problème est défini par le sous ensemble :

(x) GRAPHIQUE

Pb2. Dériver un polynôme

Soit le polynôme
Dériver q c’est faire des opérations arithmétiques conduisant a :

Matrice de dérivation :

Notons D (1) la matrice de gauche, Q le premier vecteur colonne et Q’ le deuxième.

Dériver est donc un problème linéaire.

Comment obtient-on la dérivée seconde ?
On réapplique la même opération avec la même matrice.

Pb3. Commander un bras articulé
Il s’agit d’amener un objet d’une position initiale vi a une position finale vf a l’aide d’un bras télescopique dont ‘axe de rotation est en l’origine. Les contraintes de position se formalisent de la manière