algèbre tensorielle
Cours de calcul tensoriel pour la physique d’Emmanuel Plaut `
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1 Alg` ebre tensorielle
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1.1
Espace - Vecteurs - Base et rep`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vecteur 9
1.1.1
Remarque sur la notation
: fl`eche vs barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2
Convention de sommation sur les indices r´ep´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Ex. 1.1 : Sur la convention de sommation sur les indices r´ep´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3
Produit scalaire - Premi`ere rencontre avec le point de contraction . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4
Formule de changement de base - Notion de repr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . 11
Ex. 1.2 : V´erification de la coh´erence de la d´efinition du produit scalaire . . . . . . . . . . . . 13
1.1.5
Sur le caract`ere
direct
des bases i.e. la notion d’orientation . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.6
Tenseurs d’ordre 0 et 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2
D´efinition des tenseurs comme applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3
Les tenseurs d’ordre 2 comme applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1
Repr´esentation par une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2
Formule de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3
Produit tensoriel de 2 vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.4
Application : ´ecriture intrins`eque d’un tenseur d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Ex. 1.3 : De l’int´erˆet de la notation produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.5
1.4
Tenseur identit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .