´ Lycee J.B. Corot

Colle 11

MPSI du 06-12 au 10-12 2009

1.

Exercices

Les exercices porteront sur les relations binaires, relations d’ordre et les entiers naturels.(cf cours de la semaine derni`re) e Remarque : la propri´t´ d’existence de borne sup dans R a ´t´ admise pour les exercices sur les relations ee ee d’ordre.

2.

Question de cours

Chaque question de cours comportera un ´nonc´ de cours (th´or`me, d´finition, propri´t´s ...) et une e e e e e ee d´monstration ou la pr´sentation d’un exemple. e e

3.

ch.11 :

3..1

Z

Pr´sentation, propri´t´s e ee (*)Division euclidienne dans Z. D´mo ` partir de la DE dans N. e a (*)Corollaire : a congru ` b modulo n ssi le reste de la DE de a par n est ´gal au reste de la DE de b par n. a e D´monstration. e (***)Th : sous groupes de Z, +. D´monstration. e

3..2
3..2.1

R
D´finitions et propri´t´s e e e

1. Axiomatique de R admis. 2. Cons´quences e (**)toute partie non vide et minor´e admet un inf.D´mo. e e (**)R est archim´dien. D´mo. e e 1 e (**)Corollaire : inf ( n ; n ∈ N∗ ) = 0. D´mo. 3. Valeur absolue.cf cours complexes. 3..2.2 la droite achev´e e

d´finition e 3..2.3 Intervalles de R

d´finition parties convexes. e (**)Th : les parties convexes de R sont les intervalles de R. D´monstration. e

1/2

I. Lucas

3..2.4

Partie enti`re e

(**)Th´or`me -D´finition e e e D´monstration : existence unicit´ e e

3..2.5

Parties denses

D´finition e (**)Th : Q dense dans R. D´mo e (**)TH :l’ensemble des irrationnels est dense dans R.D´mo. e a ` suivre la semaine prochaine : 3..2.6 Compl´ments e

(**)Th : sous groupes de R. D´mo e (**)Th : parties adjacentes. D´mo e

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I. Lucas