Lycée H.P. Manouba

3ème Inf 2
Année scolaire : 2010-2011

Proposé par : Mr BEN ALI

Epreuve de : Mathématiques

DEVOIR DE SYNTHESE N°1
Date : 09 décembre 2010

Durée : 2 heures

Exercice n°1 : ( 5 points )



Dans le plan orienté de sens direct , on considère un rectangle ABCD tel que BC = 4 ,AB = 2 BC et

1
BA, BC   2  .On désigne par J le point du segment CD  tel que CJ  CD .
2
4



1)a)Calculer AC puis AB. AC . b)En déduire que cos( BAC ) 

2 5
5

2)a) Calculer CACB et CJ .CA .
.
b) En déduire que les droites  AC  et  BJ  sont perpendiculaires .
3) Soit G le barycentre des point pondérés  A , 2  et

 B ,3 . ( Indication : 2GA  3GB  0 ).

a) Construire le point G .
b) Pour tout points M du plan, on pose : U  2MA  3MB . Exprimer U à l’aide de MG





c) Déterminer et construire l’ensemble   M  / U .AB  0

Exercice n°2 : ( 7 points )
 f ( x)  x 2  1  x

Soit la fonction f définie par :  x 2  3x  1
 f ( x)  x 1


si x  , 0 si x   0, 



On note  sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé R= o, i, j



1) Déterminer le domaine de définition D f de f .
2) a) Montrer que pour tout x  0,  on a f ( x)  x  4 

5 x 1

b) Montrer que la droite  : y  x  4 est une asymptote à la courbe  de f en    .
c) Etudier la position de  par rapport à  sur
3) a) Montrer que pour tout x  , 0 on a f ( x) 

1 x 1  x
2

.

b) En déduire que f admet une asymptote D d’équation y  0 en ()
4) a) Etudier la continuité de la fonction f en 0 .
b) En déduire que f est continue sur

Exercice n°3 : ( 4 points )
1) Déterminer la mesure principale des arcs suivants mes (AB ) 
2) On pose f ( x)  1  cos(2 x) 
 507 
a) Calculer f 
 et f
 4 

507
-479
. et mes (CD ) 
4
6

3 sin(2 x) .
 479 


 6 



b) Montrer que f ( x)  4cos x sin( x  ) .
6
c) En déduire la valeur