Algébre linéaire:compléments
M.el kati
20 septembre 2013

Table des matières
1 Application linéaire et sous-espaces vectoriels
1.1 codimension : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Rang d’une application linéaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
2
2

2

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4
4
4
6

3 Dualité
3.1 Hyperplan et formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Bases duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Systémes d’équations linéaires et dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
6
7
9

Représentation matricielle :
2.1 Représentation d’une famille de vecteurs :
2.2 Représentation des applications linéaires .
2.3 Rang d’une matrice : . . . . . . . . . . . .
2.4 Changement de bases . . . . . . . . . . . .

1

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cours des maths

1
1.1

Filière : MP

Application linéaire et sous-espaces vectoriels codimension :

Théorème 1.1. E et F deux espaces vectoriels sur K = R ou C u ∈ L(E, F ) alors u définit un isomorphisme de tout supplémentaire de ker u dans Imu.
En particulier les suplémentaires de ker u sont isomorphes
Démonstration. Soit G un sous espace vectoreil tel que E = Ker ⊕ G , alors

G −→ Imu x −→ u(x)

définie bien un isomoprphisme
Théorème 1.2. F et F deux sous espaces vectoriels supplémentaires d’un sous espace vectoriel
G dans E ,la projection de E sur F parallélement à G définit un isomorphisme de F sur F .
Démonstration. Considérons p la projection sur F parallélement à G et soit f :

F x −→ F
−→ p(x)

∴ soit x ∈ F ,alors p(x) = 0 ⇐⇒ x ∈ G ∩ F ⇐⇒ x =