Analyse du phedre
Calculs de ζ(2) = n=1 +∞
1 n2
+∞
1) 1er calcul de un exemple. n=1 1 . De nombreux développements en série de Fourier fournissent la valeur de n2
n=1
1 . En voici n2
a) Soit f la fonction définie sur R à valeurs dans R, 2π-périodique telle que ∀x ∈ [−π, π], f(x) = |x|. 3 y =
2 1
f( x)
−6
−5
−4
−3
−2
1
−1
1
2
3
4
5
6
f est 2π-périodique, continue sur R, de classe C par morceaux et donc, d’après le théorème de Dirichlet, en tout réel x, la série de Fourier de f converge vers f(x). b) Calcul des coefficients de Fourier de f. f est paire et donc ∀n ≥ 1, bn (f) = 0 puis, pour n ∈ N, an (f) = • a0 (f) = 2 π π 2 π
π
t cos(nt) dt.
0
t dt = π.
0 ∗
• Pour n ∈ N , une intégration par parties fournit 2 π π an (f) = =
t cos(nt) dt =
0 π
2 π
t
sin(nt) n
π
−
0
1 n
π
sin(nt) dt
0
=
2 nπ
π
− sin(nt) dt
0
2 cos(nt) nπ n
=
0
2((−1)n − 1) . n2 π
c) Puisque f est somme de sa série de Fourier sur R, on obtient pour tout réel x f(x) = a0 (f) + 2
+∞
(an (f) cos(nx) + bn (f) sin(nx)) = n=1 π + 2
+∞
n=1
π 4 2((−1)n − 1) cos(nx) = − n2 π 2 π
+∞
p=0
cos((2p + 1)x) . (2p + 1)2
En particulier ∀x ∈ [−π, π], |x| = π 4 − 2 π
+∞
π 4 − 2 π
+∞
p=0
cos((2p + 1)x) . (2p + 1)2
x = 0 fournit alors
p=0
1 = 0 et donc (2p + 1)2
+∞
+∞
p=0
π2 1 = . Enfin 2 (2p + 1) 8
+∞
S= n=1 1 = n2
+∞
p=1
1 + (2p)2
p=0
1 π2 1 = S+ (2p + 1)2 4 8
et donc S =
π2 4 π2 × = . 3 8 6
+∞
n=1
1 π2 = et 2 n 6
+∞
n=0
π2 1 = . 2 (2n + 1) 8 c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.
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1
1 (version maths sup). Le travail précédent peut être effectué « à la main » en maths sup. n2 n=1 On établit d’abord un outil capital de la démonstration du théorème de Dirtichlet : le lemme de Lebesgue. 2) 2eme calcul de a/ Une expression de 1 sous forme