Université Chouaib Doukkali Faculté des Sciences - EL JADIDA Département de Mathématiques SMA6

Année Universitaire 2011/12

Série d'exercices d'analyse fonctionnelle n 4

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Exercice 1

Soit E un espace vectoriel normé. 1) Montrer qu'un ouvert faible est un ouvert fort. 2) Montrer que E = (E, σ(E, E )) . En particulier les ensembles {x ∈ E, f, x < α} où f ∈ E et α ∈ R sont des ouverts faibles. 3) Montrer que si E est de dimension nie alors σ(E, E ) est égale à la topologie associée à la norme de E . Soit E un espace vectoriel normé de dimension innie. Nous allons montrer que la sphère unité S = {x ∈ E, x = 1} de E n'est pas σ(E, E )-fermé, et que la fermeture faible de S est égale à la boule unité fermée B = {x ∈ E, x ≤ 1}. Pour cela, soit x0 ∈ E, x0 < 1 et soit V un voisinage de x0 de la forme V = {x ∈ E, | fi , x − x0 | < , ∀i = 1, ..., n}. avec > 0, f1 , ..., fn ∈ E ,n ∈ N . 1) Montrer qu'il existe y0 ∈ E, y0 = 0 tel que fi , y0 = 0, i = 1, ..., n. 2) Montrer qu'il existe t0 > 0 tel que x0 + t0 y0 = 1. σ(E,E ) puis conclure. 3) En déduire S ⊂ B ⊂ S
1) 2) Exercice 2

Exercice 3

3)

Montrer que les topologies σ(l1 , l∞ ) et σ(l1 , C0 ) sont diérentes. (considérer la base canonique de l1 ). Montrer que dans L2 = L2 [0, 2Π] la suite (fn )n dénie par fn (x) = sin(nx) converge faiblement vers 0 mais ne converge pas fortement. (d'une part les fonctions étagées sont denses dans L2 et d'autre part √ sin(nx) − sin(px) = 2π si n = p.) Montrer que la fonction : φ : L1 = L1 [0, 1[ −→ f −→ − f
1

R 1 = − 0 |f (x)|dx

est . 1 -continue mais n'est pas σ(L1 , L∞ )-semi-continue inférieurement. (Considérer la suite (fn )n dénie par fn (x) = 1 si x ∈ [ 2kn , k+1 [ 2n 1

si k est pair et fn (x) = −1 si x ∈ [ 2kn , k+1 [ si k est impair avec k 2n entier appartenant à [0, 2n ] ; alors fn 0, σ(L1 , L∞ ), c'est-à-dire que 1 f (x)g(x)dx → 0, ∀g ∈ L∞ . Prendre d'abord g étagée sur les dia0 n diques { 2kn , n ∈ N , k entier ∈ [0, 2n ]}. Ce dernier est