Analyse reelle

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Licence MASS Seconde Ann´e. e U.F.R. 27

Universit´ de Paris 1. e 2007-2008

Partiel d’analyse S4, juin 2008, Dur´e : 3h e
L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit. Cet ´nonc´ comporte 3 pages de texte. e e Lorsqu’une question exige un raisonnement, la pr´cision de celui-ci aura une e part importante dans l’´valuation. e

Exercice 1. (10 points) L’objet de cet exercice estl’´tude de l’´quation diff´rentielle suivante: e e e Eλ : xy + (1 − x)y − λy = 0.

o` la fonction y est une fonction inconnue deux fois continˆment d´rivable de la variable x et u u e λ un r´el donn´. e e 1. Il est admis qu’il existe une fonction fλ , somme d’une s´rie enti`re de rayon de convergence e e R, strictement positif, prenant la valeur 1 en 0, (fλ (0) = 1), solution dans l’intervalle ] − R, R[de l’´quation diff´rentielle Eλ . Cette fonction est d´finie par la relation : e e e


fλ (x) = 1 +
n=1

an xn .

(a) Montrer que la suite (an )n v´rifie la relation de r´currence suivante : e e an+1 = n+λ an , (n + 1)2 ∀n ≥ 0.

(b) D´terminer les coefficients an , n ≥ 1, en fonction de l’entier n et du r´el λ. Pr´ciser e e e les fonctions f1 , f0 , f−1 , f−2 . (c) Pour quelles valeurs dur´el λ la fonction fλ est-elle un polynˆme ? Pr´ciser son e o e degr´ en fonction de la valeur −p donn´e au r´el λ. Pr´ciser le coefficient du terme e e e e de plus haut degr´ (le terme dominant). e (d) Quel est le rayon de convergence R de la s´rie enti`re de terme g´n´ral an xn , n ≥ 1, e e e e lorsque le r´el λ est diff´rent des valeurs obtenues pr´c´demment ? e e e e Il est admis, dans la suite, quela fonction fλ est la seule fonction, d´veloppable en s´rie e e enti`re sur toute la droite r´elle, qui soit solution de l’´quation diff´rentielle Eλ et qui e e e e prenne la valeur 1 en 0. 2. Dans cette question le r´el λ est ´gal ` 1 : e e a E1 : xy + (1 − x)y − y = 0.
x
−t

(a) V´rifier que la fonction h d´finie par h(x) = ex 1 e t dt est solution de E1 sur e e ]0, +∞[. V´rifier que h estind´pendante de f1 . D´terminer la solution g´n´rale de e e e e e l’´quation diff´rentielle E1 sur la demi-droite ]0, +∞[. e e (b) D´terminer de mˆme la solution g´n´rale de l’´quation diff´rentielle E1 sur la demie e e e e e droite ] − ∞, 0[. 1

(c) D´terminer enfin les fonctions solutions sur R de l’´quation diff´rentielle E1 . e e e 3. Etant donn´ un r´el λ, soit gλ la fonction d´finie sur la droiter´elle R par la relation : e e e e gλ (x) = ex fλ (−x). (a) D´terminer une ´quation diff´rentielle lin´aire du second ordre v´rifi´e par la fonction e e e e e e gλ . (b) En d´duire, en admettant que le produit de deux fonctions r´elles d´veloppables en e e e s´rie enti`re sur la droite r´elle R est encore une fonction d´veloppables en s´rie e e e e e enti`re sur la droite r´elle R, que, pour tous r´elsλ et x : e e e f1−λ (x) = ex fλ (−x). (c) Pr´ciser, lorsque p est un entier strictement positif, les fonctions fp . En d´duire les e e fonctions f2 et f3 . (d) Soit p un entier donn´ sup´rieur ou ´gal ` 1 (p ≥ 1). Quelle est, lorsque le r´el x e e e a e croˆ ind´finiment, la limite de l’expression ci-dessous : ıt e fp+1 (x) ? xfp (x)

Exercice 2. (7 points) Pour a un r´el donn´, on d´signe parEa l’ensemble des fonctions continues sur [0, +∞[ ` e e e a +∞ valeurs r´elles et telles que pour tout r´el s > a, l’int´grale 0 e−st |f (t)| dt existe. Si f ∈ Ea , e e e +∞ on pose pour s > a, (Lf )(s) = 0 e−st f (t)dt. 1. Soit n ∈ N. Montrer que f : t → tn ∈ E0 . D´terminer, en admettant que pour tout entier e +∞ naturel n, 0 un e−u du = n!, la fonction Lf . 2. Soit P un polynˆme. o u o e (a)Montrer que ∀s > 0, (LP )(s) = Q( 1 ), o` Q est un polynˆme qu’on pr´cisera. s (b) En d´duire que si LP = 0 alors P = 0. e 3. (a) Montrer que si f est de classe C 1 sur [0, +∞[ telle que f ∈ Ea et f ∈ Ea alors (Lf )(s) = s(Lf )(s) − f (0), ∀s ∈]a, +∞[.

(b) On suppose que f est de classe C n sur [0, +∞[ et que f (k) ∈ Ea pour tout 0 ≤ k ≤ n. G´n´raliser la relation pr´c´dente ` Lf (n) . e e...
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