Licence MASS Seconde Ann´e. e U.F.R. 27

Universit´ de Paris 1. e 2007-2008

Partiel d’analyse S4, juin 2008, Dur´e : 3h e
L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit. Cet ´nonc´ comporte 3 pages de texte. e e Lorsqu’une question exige un raisonnement, la pr´cision de celui-ci aura une e part importante dans l’´valuation. e

Exercice 1. (10 points) L’objet de cet exercice est l’´tude de l’´quation diff´rentielle suivante: e e e Eλ : xy + (1 − x)y − λy = 0.

o` la fonction y est une fonction inconnue deux fois continˆment d´rivable de la variable x et u u e λ un r´el donn´. e e 1. Il est admis qu’il existe une fonction fλ , somme d’une s´rie enti`re de rayon de convergence e e R, strictement positif, prenant la valeur 1 en 0, (fλ (0) = 1), solution dans l’intervalle ] − R, R[ de l’´quation diff´rentielle Eλ . Cette fonction est d´finie par la relation : e e e
∞

fλ (x) = 1 + n=1 an xn .

(a) Montrer que la suite (an )n v´rifie la relation de r´currence suivante : e e an+1 = n+λ an , (n + 1)2 ∀n ≥ 0.

(b) D´terminer les coefficients an , n ≥ 1, en fonction de l’entier n et du r´el λ. Pr´ciser e e e les fonctions f1 , f0 , f−1 , f−2 . (c) Pour quelles valeurs du r´el λ la fonction fλ est-elle un polynˆme ? Pr´ciser son e o e degr´ en fonction de la valeur −p donn´e au r´el λ. Pr´ciser le coefficient du terme e e e e de plus haut degr´ (le terme dominant). e (d) Quel est le rayon de convergence R de la s´rie enti`re de terme g´n´ral an xn , n ≥ 1, e e e e lorsque le r´el λ est diff´rent des valeurs obtenues pr´c´demment ? e e e e Il est admis, dans la suite, que la fonction fλ est la seule fonction, d´veloppable en s´rie e e enti`re sur toute la droite r´elle, qui soit solution de l’´quation diff´rentielle Eλ et qui e e e e prenne la valeur 1 en 0. 2. Dans cette question le r´el λ est ´gal ` 1 : e e a E1 : xy + (1 − x)y − y = 0. x −t

(a) V´rifier que la fonction h d´finie par h(x) = ex 1 e t dt est solution de E1 sur e e ]0, +∞[. V´rifier que h est