Analyse

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 51 (12749 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 8 décembre 2010
Lire le document complet
Aperçu du document
Universit´ Paris 1, Panth´on - Sorbonne e e

Premi`re ann´e Licence M.A.S.S. 2009 − 2010 e e

Math´matiques : Analyse e

Avertissement : Ces notes de cours ne sont qu’informatives, elles sont incompl`tes, elles sont susceptibles de contenir des erreurs e (y compris grossi`res). je le remercie chaleureusement J-M. Bare det et D. Pennequin qui m’ont fourni leurs archives. On peut lire cesnotes en premi`re lecture en consid´rant que tous les espaces e e sont ´gaux ` R de fa¸on syst´matique. e a c e

Table des mati`res e
1 Quelques rappels sur les ensembles et les fonctions 1.1 Quelques notions sur les ensembles et la logique . . . 1.2 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Fonctions de R dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Introduction ` latopologie de R et de C . . . . . . . a 1.5 Introduction ` la topologie de R et C . . . . . . . . . a 1.5.1 Introduction : construction de R . . . . . . . . ´ 1.5.2 Ecriture d´cimale d’un rationnel . . . . . . . . e 1.5.3 Premi`res notions de topologie . . . . . . . . . e 1.6 Quelques notions topologiques de R . . . . . . . . . . 1.6.1 Propri´t´ de la borne sup´rieure . . . . . . . . ee e 1.6.2 Exemples etpropri´t´s . . . . . . . . . . . . . ee 1.6.3 Caract´risation de la borne sup´rieure . . . . e e 1.6.4 Application aux fonctions . . . . . . . . . . . 2 Suites num´riques e 2.1 D´finition et exemples . . . . . . . . . . . . e 2.1.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.2 Suites arithm´tiques, g´om´triques e e e g´om´triques . . . . . . . . . . . . . e e 2.2 Th´or`mes d’existence de limite. . . . . . . e e 2.2.1 suites monotones . . . . . . . . . . . 2.2.2 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . 2.2.3 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . 2.2.4 Encadrements . . . . . . . . . . . . . 2.3 R`gles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4 Sous-suites et valeurs d’adh´rence . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 6 7 7 7 78 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 12 13 13 13 14 2 2.4.1 D´finitions, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4.2 Propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee ´ Etude des suites r´elles r´currentes d’ordre 1 . . . . . . . . e e 14 14 15 16 16 16 16 16 16 17 17 18 18 18 18 19 19 19 20 20 20 20 21 21

2.5

. . . . . . . . . . . . . . . . arithm´ticoe . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Continuit´ d’une fonction e 3.1 Fonctions : g´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 3.1.1 Fonctions de E dans F . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Fonctions de E dans R . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Limite et continuit´ d’une fonction . . . . . . . . . . . . . e3.2.1 Limite d’une fonction en un point . . . . . . . . . . 3.2.2 Caract´risation s´quentielle . . . . . . . . . . . . . e e 3.2.3 Cons´quences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3 Limite d’une fonction et infini . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.2 Caract´risation s´quentielle . . . . . . . . . . . . . e e 3.3.3 R`gles decalcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.4 Limites remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Continuit´ d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.4.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.4.2 Prolongement par continuit´ . . . . . . . . . . . . . e 3.4.3 Propri´t´s des fonctions continues . . . . . . . . . . ee 3.4.4 Lien avec la topologie . .. . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5 Th´or`me des valeurs interm´diaires et dichotomie . e e e 3.4.6 Application aux fonctions r´ciproques . . . . . . . . e 3.4.7 Application ` la d´finition des fonctions exp(x), a e arcsin(x), arccos(x) et arctan(x). . . . . . . . . . .

4 D´rivabilit´ d’une fonction num´rique et applications e e e 22 4.1 D´finitions et interpr´tation g´om´trique . . . . . . ....
tracking img