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  • Publié le : 24 avril 2011
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1 Le corps R des nombres réels
1.1 Construction de R à l’aide des suites de Cauchy de nombres rationnels

On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du corps Q des nombres rationnels. L’ensemble N des entiers naturels peut être construit à partir de la notion de cardinal dans le cadre de la théorie des ensembles. Après avoir étudié lathéorie des groupes, on construit l’anneau Z des entiers relatifs par symétrisation puis le corps Q des nombres rationnels est construit comme le corps des fractions de Z. Le corps Q étant totalement ordonné, on peut définir sur cet ensemble les notions de valeur absolue, de minorant, de majorant, de borne inférieure et de borne supérieure. On note Q+ [resp. Q+,∗ ] le sous-ensemble de Q formé desnombres rationnels positifs ou nuls [resp. strictement positif]. Dire que M ∈ Q est la borne supérieure d’une partie non vide X de Q signifie que M est le plus petit des majorants de X, ce qui se traduit par : ∀x ∈ X, x ≤ M, ∀a ∈ Q tel que a < M, ∃x ∈ X | a < x ≤ M et on note M = sup (X) . Il n’est pas difficile de montrer l’unicité d’une telle borne supérieure quand elle existe. Exercice 1.1 Montrer que0 est la borne supérieure du sous-ensemble X = Q. Solution 1.1 ♠♠♠ Exercice 1.2 Montrer que le sous-ensemble X = {r ∈ Q | x2 < 2} de Q n’a pas de borne supérieure dans Q. Solution 1.2 ♠♠♠ Le but de ce chapitre est de donner les principales idées qui conduisent à la démonstration du théorème suivant. Théorème 1.1 Il existe un corps totalement ordonné R qui contient Q dans lequel toute partiemajorée non vide admet une borne supérieure. 3 1 | n ∈ N∗ n de

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Le corps R des nombres réels

Un tel corps est unique à isomorphisme près. On rappelle que, si X est un ensemble non vide, alors une suite d’éléments de X est une application définie sur N (ou une partie de N) à valeurs dans X. On note usuellement u = (un )n∈N ou u = (un )n≥n0 une telle suite. L’ensemble QN des suites de nombresrationnels est un anneau commutatif unitaire pour les opérations classiques d’addition et de multiplication. Définition 1.1 On dit qu’une suite (rn )n∈N de nombres rationnels est convergente s’il existe un nombre rationnel r tel que : ∀ε ∈ Q+,∗ , ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , |rn − r| < ε. En cas de convergence il y a unicité de la limite et on écrira lim un =
n→+∞

ou un

n→+∞



.

Définition 1.2On dit qu’une suite (rn )n∈N de nombres rationnels est de Cauchy si : ∀ε ∈ Q+,∗ , ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , ∀m ≥ n0 , |rn − rm | < ε. En utilisant l’inégalité triangulaire dans Q, on vérifie facilement qu’une suite convergente est de Cauchy et qu’une suite de Cauchy est bornée. On vérifie aussi facilement, à partir de la définition, que s’il existe une suite (εn )n∈N de nombres rationnels convergente vers 0telle que |rm − rn | < εn pour tous m > n, alors la suite (rn )n∈N est de Cauchy. Exercice 1.3 Montrer que si (rn )n∈N est une suite de nombres rationnels telle que |rn+1 − rn | ≤ λn pour tout n ∈ N, où λ est un rationnel strictement compris entre 0 et 1, alors cette suite est de Cauchy. Solution 1.3 Il suffit d’écrire pour m > n :
m−1 m−1

|rm − rn | =
k=n

(rk+1 − rk ) ≤
k=n m−1 k

|rk+1− rk | → 0.

λn λ < ≤ 1−λ k=n

n→+∞

Exercice 1.4 Montrer que la suite (rn )n∈N de nombres rationnels définie par r0 = 2 et rn+1 = 1 est de Cauchy, mais non convergente dans Q. 1+ rn Solution 1.4 On vérifie par récurrence que cette suite est bien définie et à valeurs dans Q. On vérifie également par récurrence que rn > 1 pour tout n ∈ N. Il en résulte que rn rn+1 = rn + 1 > 2 pour tout n ∈ N et: |rn+1 − rn | = 1 |rn − rn−1 | 1 1 = − < |rn − rn−1 | rn rn−1 rn rn−1 2

1 1 pour n ≥ 1 et par récurrence |rn+1 − rn | < n |r1 − r0 | = n+1 , ce qui implique que (rn )n∈N est 2 2 de Cauchy. ♠♠♠

Construction de R à l’aide des suites de Cauchy de nombres rationnels Exercice 1.5 Montrer que la suite (rn )n∈N de nombres rationnels définie par rn = de Cauchy, mais non convergente dans Q.
n...
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