Analyse

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Introduction à

l'analyse de données

Analyse en Composantes Principales
Les données
Les données se présentent sous la forme d’un  tableau de n individus décrits par p variables quantitatives. X3
Dans l’espace ℜ
p

L'ACP est la plus connue  des analyses factorielles.   Elle fournit une  représentation graphique  2D simplifiée de données   multidimensionnelles,  directement analysable par  notre cerveau. Elle est  fondée sur la recherche du  meilleur « résumé »  graphique possible d'un   ensemble de données, en   particulier de l'angle de  vue selon lequel les données seront les plus  « étalées ».

X2 X1 Chaque individu peut être représenté par un  point   dans   un   espace   à   p   dimensions.  L'ensemble des points forme un nuage.On cherche à comprendre la forme du nuage  de   points   pour   pouvoir   le   représenter   le  mieux possible en 2D sous forme simplifiée.  Lorsque   les   unités   de   mesure   diffèrent  beaucoup entre les variables, on standardise les données. L'ACP est alors dite « normée ».

Interprétation des facteurs Etude des variables: Une variable est bien représentée si son  extrémité est proche du cercle de rayon 1 (cercle de corrélation). On observe la  disposition des variables bien représentées.  Cette étude des variables conduit  généralement à donner une signification  synthétique aux facteurs.
Variables (axes F1 et F2 : 84 %)Caractéristiques physiques
1 H 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1 -1 -0,5 0 -- axe F1 (50 %) --> 0,5 1 W MRI

Intelligence
PIQ VIQ FSIQ

Principe de l’ACP
On   cherche   un   ensemble   d’axes  factoriels  (les  composantes principales) qui, pris deux  à deux, définissent des plans (2D). Les axes  doivent être choisis de manière à déformer le  moins   possible   la   structure   du   nuage,  à  l'étendre le plus possible. Pour chaque point, on cherche  à minimiser  les distances entre le point et ses projections  sur   les   axes   factoriels.   Pour   cela, ...
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