AnalyseChap1

4200 mots 17 pages
1
Le corps R des nombres réels
1.1

Construction de R à l’aide des suites de Cauchy de nombres rationnels

On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du corps Q des nombres rationnels.
L’ensemble N des entiers naturels peut être construit à partir de la notion de cardinal dans le cadre de la théorie des ensembles. Après avoir étudié la théorie des groupes, on construit l’anneau Z des entiers relatifs par symétrisation puis le corps Q des nombres rationnels est construit comme le corps des fractions de Z.
Le corps Q étant totalement ordonné, on peut définir sur cet ensemble les notions de valeur absolue, de minorant, de majorant, de borne inférieure et de borne supérieure.
On note Q+ [resp. Q+,∗ ] le sous-ensemble de Q formé des nombres rationnels positifs ou nuls
[resp. strictement positif].
Dire que M ∈ Q est la borne supérieure d’une partie non vide X de Q signifie que M est le plus petit des majorants de X, ce qui se traduit par :
∀x ∈ X, x ≤ M,
∀a ∈ Q tel que a < M, ∃x ∈ X | a < x ≤ M et on note M = sup (X) . Il n’est pas difficile de montrer l’unicité d’une telle borne supérieure quand elle existe.
Exercice 1.1 Montrer que 0 est la borne supérieure du sous-ensemble X =
Q.

1
| n ∈ N∗ n de

Solution 1.1 ♠♠♠
Exercice 1.2 Montrer que le sous-ensemble X = {r ∈ Q | x2 < 2} de Q n’a pas de borne supérieure dans Q.
Solution 1.2 ♠♠♠
Le but de ce chapitre est de donner les principales idées qui conduisent à la démonstration du théorème suivant.
Théorème 1.1 Il existe un corps totalement ordonné R qui contient Q dans lequel toute partie majorée non vide admet une borne supérieure.
3

4

Le corps R des nombres réels

Un tel corps est unique à isomorphisme près.
On rappelle que, si X est un ensemble non vide, alors une suite d’éléments de X est une application définie sur N (ou une partie de N) à valeurs dans X. On note usuellement u =
(un )n∈N ou u = (un )n≥n0 une telle suite.
L’ensemble QN des suites de nombres

en relation

  • Chap01
    5061 mots | 21 pages
  • Sujet baccalauréat s
    597 mots | 3 pages
  • Intervalles / seconde / 2014 / Leçon
    1875 mots | 8 pages
  • Analyse 1 Drive
    2524 mots | 11 pages
  • Analyse Des Donn Es 1
    3223 mots | 13 pages
  • Analyse google 1
    1420 mots | 6 pages
  • Tp classification périodique
    529 mots | 3 pages
  • Analyse PESTEL1
    1342 mots | 6 pages
  • Swot analysis de rf1
    546 mots | 3 pages
  • analyse n°1
    2753 mots | 12 pages
  • Compta Analytique1
    6367 mots | 26 pages
  • Maupassant Analyse 1
    4743 mots | 19 pages
  • Analyse kfc
    1458 mots | 6 pages
  • Compta Analytique1
    6367 mots | 26 pages
  • Meditation
    646 mots | 3 pages